Capítulo 10 – Propriedades da igualdade e resolução de problemas
Resumo completo
Capítulo 10 – Propriedades da igualdade e resolução de problemas
Resumo completo
1Abertura: igualdades no dia a dia
A mãe de Murilo faz compras pelo celular. Em cada aplicativo aparece uma lista de itens, o preço de cada um e o total a pagar.
Para conferir se o total está certo, basta somar os valores dos itens mais a taxa de entrega. Se as duas contas derem o mesmo número, dizemos que existe uma igualdade.
Esse é o assunto do capítulo: entender o que é uma igualdade, o que podemos fazer nos dois lados dela sem estragá-la e usar isso para descobrir valores desconhecidos.
Pedido do restaurante: 2 · 21 + 1 · 8 + 2 · 6,50 + 2 · 9 + 3 = 42 + 8 + 13 + 18 + 3 = 84. O aplicativo mostrava R$ 87,00, ou seja, o valor estava incorreto (R$ 3,00 a mais).
Conferindo os totais dos pedidos
Pedido
Conta dos itens + entrega
Total conferido
Total do app
Restaurante Sabor Natural
42 + 8 + 13 + 18 + 3
84
87 (errado)
Mercado Preço Bom
47 + 26 + 9 + 15 + 5
102
102 (certo)
Farmácia +Saúde
7 + 45 + 11 + 0
63
não informado
Loja Veste Bem
80 + 55 + 68 + 10
213
213 (certo)
1Conceito de igualdade
Uma igualdade é uma frase matemática que usa o sinal de igual (=). Ela diz que aquilo que está de um lado vale exatamente o mesmo que aquilo que está do outro lado.
Escrevemos assim: a = b, em que a e b são maneiras diferentes de escrever o mesmo valor.
Muitas frases do dia a dia podem virar igualdades. Por exemplo, "à vista por R$ 2 200,00 ou em 5 parcelas de R$ 440,00" vira 2 200 = 5 · 440.
📐 Para guardar
a = b (o valor de a é o mesmo valor de b)
Exemplos
Compra da família: à vista R$ 2 200,00 ou 5 parcelas de R$ 440,00 → 2 200 = 5 · 440
Dieta do nutricionista: 1 300 kcal + 500 kcal + 200 kcal por dia, total 2 000 kcal → 1 300 + 500 + 200 = 2 000
Caminhão: cabem 60 caixas do produto M ou 45 caixas do produto N → 60 · M = 45 · N
Da frase para a igualdade
Frase
Igualdade matemática
A soma de 12 com 27 é igual a 39
12 + 27 = 39
A diferença entre 35 e 19 é igual a 16
35 − 19 = 16
O produto entre 12 e 4 é o mesmo produto entre 8 e 6
12 · 4 = 8 · 6
O quociente entre 96 e 4 é igual à soma de 12, 8 e 4
96 : 4 = 12 + 8 + 4
O número 81 é a soma de 15 com 66
81 = 15 + 66
A adição entre 25 e 11 é igual ao quadrado de 6
25 + 11 = 6²
1.1Os dois membros de uma igualdade
Toda igualdade é dividida em duas partes, chamadas membros.
O 1º membro é tudo o que fica à esquerda do sinal de igual. O 2º membro é tudo o que fica à direita.
As operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) podem aparecer no primeiro membro, no segundo, ou nos dois ao mesmo tempo.
Exemplos
Em 1 200 = 5 · 240, o 1º membro é 1 200 e o 2º membro é 5 · 240.
Em 1 300 + 500 + 200 = 2 000, o 1º membro tem três parcelas e o 2º membro tem só o número 2 000.
Em 60 · M = 45 · N, os dois membros têm multiplicação.
Identificando os membros
Igualdade
1º membro
2º membro
1 200 = 5 · 240
1 200
5 · 240
1 300 + 500 + 200 = 2 000
1 300 + 500 + 200
2 000
60 · M = 45 · N
60 · M
45 · N
34 + 72 = 25 + 81
34 + 72
25 + 81
1.2Igualdade verdadeira ou falsa
Uma igualdade só é verdadeira quando o valor do 1º membro é igual ao valor do 2º membro.
Para conferir, calcule cada lado separadamente e compare os resultados. Se derem números diferentes, a igualdade é falsa (incorreta).
Quando a igualdade está errada, podemos consertá-la trocando um dos números.
Exemplos
12 + 9 = 21 → 1º membro: 21; 2º membro: 21. Iguais, então a igualdade é verdadeira.
Um mesmo número escrito de várias formas (exemplo: 7)
Operação
Igualdade
Adição
7 = 3 + 4
Subtração
7 = 10 − 3
Multiplicação
7 = 7 · 1
Divisão
7 = 14 : 2
2Princípio de equivalência para a adição e a subtração
Pense em uma balança de dois pratos. Ela fica em equilíbrio (os pratos alinhados) quando os dois lados têm a mesma massa. A igualdade funciona igualzinho: os dois membros precisam ter o mesmo valor.
Se você coloca 5 kg em um prato, precisa colocar 5 kg no outro prato para a balança continuar equilibrada. Na matemática vale a mesma ideia.
Esse é o princípio de equivalência para a adição e a subtração: o que eu somo (ou tiro) de um membro, tenho que somar (ou tirar) do outro membro. Assim a igualdade continua verdadeira.
📐 Para guardar
Se a = b, então a + c = b + c
Se a = b, então a − c = b − c
Exemplos
Partindo de 9 = 9: somando 6 nos dois lados → 9 + 6 = 9 + 6 (15 = 15). Verdadeira.
Partindo de 9 = 9: tirando 7 dos dois lados → 9 − 7 = 9 − 7 (2 = 2). Verdadeira.
Resolvendo problemas com o princípio (adição/subtração)
Problema
Igualdade
O que fazer nos dois lados
Resposta
Somando 14 anos à idade de Patrícia dá 33 anos
idade + 14 = 33
Subtrair 14: idade + 14 − 14 = 33 − 14
Patrícia tem 19 anos
Somando 19 anos à idade de Letícia dá 45 anos
idade + 19 = 45
Subtrair 19: 45 − 19
Letícia tem 26 anos
2.1Exemplo resolvido passo a passo
Vamos usar o princípio para descobrir um valor desconhecido.
Problema: Camila e Ana são irmãs gêmeas. Somando a idade das duas hoje, o resultado é 26. Qual será a idade delas daqui a 28 anos?
Como elas são gêmeas, têm a mesma idade. Então dividimos a soma por 2 e depois somamos os anos que vão passar.
Exemplos
Passo 1: idade de Camila + idade de Ana = 26, e as idades são iguais.
Passo 2: 2 · idade = 26 → idade = 26 : 2 = 13. Cada uma tem 13 anos hoje.
Passo 3: daqui a 28 anos → 13 + 28 = 41.
Resposta: cada uma terá 41 anos.
3Princípio de equivalência para a multiplicação e a divisão
O mesmo vale para multiplicar e dividir. Se eu multiplico um membro por um número, preciso multiplicar o outro membro pelo mesmo número.
O princípio de equivalência para a multiplicação e a divisão diz: multiplicando (ou dividindo) os dois membros pelo mesmo valor, a igualdade continua verdadeira.
Atenção a uma regra importante: na divisão, esse número não pode ser zero. Não existe divisão por zero.
📐 Para guardar
Se a = b, então a · c = b · c
Se a = b, então a : c = b : c (com c diferente de zero)
Exemplos
Partindo de 5 = 5: multiplicando por 9 nos dois lados → 5 · 9 = 5 · 9 → 45 = 45.
Partindo de 27 = 27: dividindo por 9 nos dois lados → 27 : 9 = 27 : 9 → 3 = 3.
Partindo de 42 = 42: dividindo por 7 → 42 : 7 = 42 : 7 → 6 = 6.
Partindo de 13 = 13: multiplicando por 8 → 13 · 8 = 13 · 8 → 104 = 104.
Balança: 2 · 6 e 12 (12 = 12). Multiplicando por 4 nos dois lados: 2 · 6 · 4 = 12 · 4 → 48 = 48.
Balança: 81 : 9 e 9 (9 = 9). Dividindo por 3 nos dois lados: 81 : 9 : 3 = 9 : 3 → 3 = 3.
Resumo dos dois princípios de equivalência
Operação feita
Regra
Cuidado
Adição
Somar o mesmo número nos dois membros
Nenhum
Subtração
Subtrair o mesmo número nos dois membros
Nenhum
Multiplicação
Multiplicar os dois membros pelo mesmo número
Nenhum
Divisão
Dividir os dois membros pelo mesmo número
O número não pode ser 0
Padrões em tabelas (multiplicar ou dividir toda a linha)
Tabela
Padrão
1ª linha
2ª linha
Tabela A
Multiplicar por 6
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 50
18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 300
Tabela B
Dividir por 4
12 | 16 | 20 | 36 | 48 | 100
3 | 4 | 5 | 9 | 12 | 25
3.1Exemplos resolvidos passo a passo
Veja como usar o princípio para achar números escondidos em problemas de multiplicação e divisão.
A ideia é sempre a mesma: faça a operação inversa nos dois membros. O inverso de multiplicar é dividir, e o inverso de dividir é multiplicar.
Exemplos
Idade de Joana: multiplicando a idade de Joana por 5 obtemos 105.
Passo 1: idade · 5 = 105.
Passo 2: dividir os dois membros por 5 → idade · 5 : 5 = 105 : 5.
Passo 3: idade = 21 anos.
Passo 4: daqui a 6 anos → 21 + 6 = 27 anos.
Desafio do Diogo: ele começou com 2, dobrou, triplicou e depois quadruplicou.
2 → 2 · 2 = 4 → 4 · 3 = 12 → 12 · 4 = 48.
E se o resultado final fosse 120? Voltamos fazendo as operações inversas: 120 : 4 = 30 → 30 : 3 = 10 → 10 : 2 = 5. O número escolhido seria 5.
Documentário (IFBA): 60 curtas de 8 min = 480 min no total. Com curtas de 3 min: 480 : 3 = 160 curtas (alternativa d).
4Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais
Nem sempre dividir em partes iguais é o mais justo. Se um funcionário trabalhou 8 horas e o outro 32 horas, não faz sentido pagarem o mesmo valor.
Nesses casos fazemos uma partilha em partes desiguais: repartimos um total em duas partes que se relacionam de algum jeito.
Essa relação pode ser de dois tipos: aditiva (uma parte tem tantas unidades a mais que a outra) ou multiplicativa (uma parte é o dobro, o triplo, a metade, a terça parte da outra).
Tipos de relação entre as partes
Tipo de relação
Como aparece no texto
Exemplo
Aditiva
"a mais que", "a menos que", "a diferença é"
Clara deu R$ 50,00 a mais que Victor
Multiplicativa
"o dobro", "o triplo", "a metade", "um terço"
Sophia levou o dobro dos pedaços reservados
4.1Relações aditivas (uma parte é maior por certo valor)
Quando sabemos o total e a diferença entre as duas partes, existe um caminho simples e rápido.
Primeiro tiramos a diferença do total. O que sobra é dividido em duas partes iguais: esse é o valor da parte menor. Depois somamos a diferença para achar a parte maior.
No fim, sempre confira: as duas partes somadas devem dar o total.
📐 Para guardar
parte menor = (total − diferença) : 2
parte maior = parte menor + diferença
parte maior = (total + diferença) : 2
Exemplos
Clara e Victor juntaram R$ 250,00. Se dessem a mesma quantia, cada um daria 250 : 2 = R$ 125,00.
Clara deu R$ 50,00 a mais que Victor:
Passo 1: 250 − 50 = 200.
Passo 2: 200 : 2 = 100 → Victor deu R$ 100,00.
Passo 3: 100 + 50 = 150 → Clara deu R$ 150,00.
Conferindo: 100 + 150 = 250. ✔
Victor deu R$ 80,00 a mais que Clara:
250 − 80 = 170; 170 : 2 = 85 → Clara deu R$ 85,00; Victor deu 85 + 80 = R$ 165,00. Conferindo: 85 + 165 = 250. ✔
Caneta e lápis: a caneta custa R$ 5,00 a mais que o lápis e 2 lápis + 1 caneta custam R$ 14,00.
Trocando a caneta por (lápis + 5): 3 lápis + 5 = 14 → 3 lápis = 9 → lápis = R$ 3,00; caneta = 3 + 5 = R$ 8,00.
Gisele e Renato: soma das idades 95 e diferença 5, com Gisele mais velha.
95 − 5 = 90; 90 : 2 = 45 → Renato tem 45 anos; Gisele tem 45 + 5 = 50 anos.
Aline e Tales: pedalaram juntos 100 km e Aline fez 20 km a mais.
100 − 20 = 80; 80 : 2 = 40 → Tales pedalou 40 km; Aline pedalou 60 km.
Renato e Laís: juntos 60 anos, Renato 30 anos mais velho.
60 − 30 = 30; 30 : 2 = 15 → Laís tem 15 anos; Renato tem 45 anos.
Três números consecutivos que somam 78:
O número do meio é 78 : 3 = 26. Então são 25, 26 e 27.
Passo a passo da partilha aditiva
Passo
O que fazer
Exemplo (total 250, diferença 50)
1
Subtrair a diferença do total
250 − 50 = 200
2
Dividir o resultado por 2 → parte menor
200 : 2 = 100
3
Somar a diferença → parte maior
100 + 50 = 150
4
Conferir a soma
100 + 150 = 250 ✔
4.2Partilha proporcional (repartir conforme a participação)
Às vezes o total deve ser repartido conforme o quanto cada um contribuiu. Chamamos isso de partilha proporcional.
O truque é descobrir quanto vale uma unidade (uma hora de trabalho, um arranjo, uma sacola). Depois multiplicamos esse valor pela quantidade de cada um.
📐 Para guardar
valor de 1 unidade = total : (soma das partes)
Exemplos
Fábrica: serviço de R$ 15 000,00; uma pessoa trabalhou 25 h e a outra 50 h.
Passo 1: total de horas = 25 + 50 = 75 h.
Passo 2: valor de 1 hora = 15 000 : 75 = R$ 200,00.
Passo 3: 25 · 200 = R$ 5 000,00 e 50 · 200 = R$ 10 000,00. Conferindo: 5 000 + 10 000 = 15 000. ✔
Tampinhas: 900 tampinhas; o 6º A usa 30 por arranjo e o 6º B usa 45 por arranjo.
Passo 1: 30 + 45 = 75 tampinhas por "par de arranjos".
Passo 2: 900 : 75 = 12 (cada turma faz 12 arranjos).
Passo 3: 6º A recebe 12 · 30 = 360 tampinhas; 6º B recebe 12 · 45 = 540 tampinhas. Conferindo: 360 + 540 = 900. ✔
Sacolas de CDs (IFBA): 15 sacolas com 60 CDs = 900 CDs. Em sacolas de 75: 900 : 75 = 12 sacolas (alternativa c).
Aqui uma parte é um número de vezes a outra. Quando o problema fala em dobro, triplo, metade ou terça parte, pensamos em quantas "partes iguais" o total tem.
Se uma parte é o dobro da outra, o total tem 1 + 2 = 3 partes iguais. Dividimos o total por 3 e depois montamos cada pedaço.
Em receitas e viagens usamos a mesma ideia: se o número de pessoas dobra, todos os ingredientes dobram; se cai pela metade, tudo cai pela metade.
📐 Para guardar
Se uma parte é o dobro da outra: parte menor = total : 3 e parte maior = 2 · (total : 3)
Metade = total : 2 | Terça parte = total : 3 | Um sexto = total : 6
Exemplos
Bolo da Sophia: 27 pedaços; a família ficou com uma quantidade e Sophia levou o dobro dela.
Passo 1: 1 parte (família) + 2 partes (Sophia) = 3 partes.
Passo 2: 27 : 3 = 9 → família ficou com 9 pedaços.
Passo 3: Sophia levou 2 · 9 = 18 pedaços. Conferindo: 9 + 18 = 27. ✔
Receita "Macarrão da Nona" (serve 6 pessoas):
a) Para 12 pessoas (o dobro): 2 · 2 = 4 ovos.
b) Para 3 pessoas (a metade): 1 : 2 = meia cebola.
c) Para 24 pessoas (4 vezes mais): 4 · 4 = 16 tomates.
d) Para 2 pessoas (a terça parte): 900 : 3 = 300 g de carne moída.
Viagem de 120 km:
Família 1 – parou na metade: 120 : 2 = 60 km antes e 60 km depois.
Família 2 – parou faltando um sexto: 120 : 6 = 20 km faltando, logo percorreu 100 km antes e 20 km depois.
Família 3 – o percorrido era um terço do que faltava: o total tem 1 + 3 = 4 partes; 120 : 4 = 30 km antes e 90 km depois.
Caio: casa a 300 km; para abastecer depois de cinco sextos do caminho.
300 : 6 = 50; 5 · 50 = 250 km percorridos até a parada, faltando 50 km.
Natália: 12 quadras até o clube; parou na terça parte do caminho.
12 : 3 = 4 quadras andadas; ainda faltam 12 − 4 = 8 quadras.
Quantas partes iguais tem o total?
Relação entre as partes
Nº de partes iguais
Parte menor
Parte maior
Uma é o dobro da outra
3
total : 3
2 · (total : 3)
Uma é o triplo da outra
4
total : 4
3 · (total : 4)
Uma é a metade da outra
3
total : 3
2 · (total : 3)
Uma é a terça parte da outra
4
total : 4
3 · (total : 4)
Receita para diferentes números de pessoas
Ingrediente
6 pessoas
3 pessoas (÷2)
12 pessoas (×2)
24 pessoas (×4)
Macarrão
600 g
300 g
1 200 g
2 400 g
Carne moída
900 g
450 g
1 800 g
3 600 g
Cebola
1
meia
2
4
Tomates
4
2
8
16
Ovos
2
1
4
8
5Questões de vestibular e desafios comentados
As questões finais do capítulo misturam tudo: igualdade, princípios de equivalência e partilha.
A dica é sempre transformar o texto em uma igualdade e depois usar as operações inversas para achar o valor escondido.
No fim, substitua a resposta no problema para conferir se tudo bate.
Exemplos
(IFSUL) "O produto dos dois menores números primos somado a 10": os dois menores primos são 2 e 3. Então 2 · 3 = 6 e 6 + 10 = 16 anos (alternativa b).
Vestido, brincos e bermuda: vestido + brincos = 220 e vestido + bermuda = 300; a bermuda custa o mesmo que 2 pares de brincos.
Da 2ª igualdade: vestido + 2 · brincos = 300. Comparando com vestido + brincos = 220, vemos que 1 par de brincos custa 300 − 220 = R$ 80,00.
Então o vestido custa 220 − 80 = R$ 140,00 e a bermuda custa 2 · 80 = R$ 160,00.
Juntos: 140 + 160 + 80 = R$ 380,00 (alternativa a).
Jogo de cartas: Pietro tem 3 estrelas e Lucas 2 corações + 1 nuvem, com pontuações iguais. Sobram 1 estrela e 2 nuvens para repartir. Se estrela = 4, coração = 5 e nuvem = 2, temos 3 · 4 = 12 e 2 · 5 + 2 = 12 (empate). Dando a estrela para Lucas (12 + 4 = 16) e as duas nuvens para Pietro (12 + 2 + 2 = 16), o empate continua.
6Neste capítulo, você estudou
Este é o resumão para revisar antes da prova.
Guarde bem a imagem da balança: ela explica quase tudo sobre igualdades. O que se faz de um lado, faz-se do outro.
E lembre-se de sempre conferir a resposta no final do problema.
📐 Para guardar
a = b
Se a = b, então a + c = b + c e a − c = b − c
Se a = b, então a · c = b · c e a : c = b : c (c ≠ 0)
parte menor = (total − diferença) : 2
Mapa do capítulo
Conteúdo
Ideia principal
Conceito de igualdade
a = b: os dois membros valem o mesmo
Membros
1º membro à esquerda do =, 2º membro à direita
Igualdade verdadeira
Calcular cada lado e comparar
Equivalência (+ e −)
Somar ou tirar o mesmo número dos dois lados
Equivalência (· e :)
Multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número (≠ 0 na divisão)
Partilha aditiva
(total − diferença) : 2 = parte menor
Partilha multiplicativa
Contar quantas partes iguais formam o total
Partilha proporcional
Descobrir quanto vale 1 unidade e multiplicar
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Conceito de igualdade
1Dissertativo
Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o sinal de igual (=). Ela mostra que o valor do lado esquerdo (o 1º membro) é o mesmo valor do lado direito (o 2º membro). Por exemplo: 20 + 5 = 25.
Analise cada igualdade abaixo. Escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique fazendo as contas. Quando for falsa, reescreva-a de um jeito que fique correta. a) 17 + 8 = 25 b) 40 = 6 · 7 c) 90 : 3 = 30 d) 52 − 19 = 43
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) Verdadeira. b) Falsa (6 · 7 = 42); correção: 42 = 6 · 7. c) Verdadeira. d) Falsa (52 − 19 = 33); correção: 52 − 19 = 33.
Resolução passo a passo
Para saber se uma igualdade é verdadeira, calculamos o valor de cada lado. O lado esquerdo é o 1º membro e o lado direito é o 2º membro. Se os dois derem o mesmo número, a igualdade é verdadeira.
a) 1º membro: 17 + 8 = 25. 2º membro: 25. Os dois valem 25, então a igualdade é verdadeira.
b) 1º membro: 40. 2º membro: 6 · 7 = 42. Como 40 é diferente de 42, a igualdade é falsa. Para consertar, escrevemos 42 = 6 · 7 (ou, se quisermos manter o 40, 40 = 5 · 8).
c) 1º membro: 90 : 3 = 30. 2º membro: 30. Os dois valem 30, então é verdadeira.
d) 1º membro: 52 − 19 = 33. 2º membro: 43. Como 33 é diferente de 43, é falsa. Corrigindo: 52 − 19 = 33.
2Dissertativo
Represente cada frase por meio de uma igualdade matemática. a) A soma de 24 com 36 é igual a 60. b) A diferença entre 80 e 45 é igual a 35. c) O produto de 9 por 6 é o mesmo produto de 18 por 3. d) O quociente entre 120 e 4 é igual à soma de 20, 6 e 4.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 24 + 36 = 60; b) 80 − 45 = 35; c) 9 · 6 = 18 · 3; d) 120 : 4 = 20 + 6 + 4
Resolução passo a passo
Cada palavra da frase vira um sinal na matemática. Soma vira +, diferença vira −, produto vira ·, quociente vira : e é igual a vira =.
a) "A soma de 24 com 36" é 24 + 36. "É igual a 60" fecha com = 60. Fica 24 + 36 = 60 (e conferindo: 24 + 36 = 60, verdadeira).
b) "A diferença entre 80 e 45" é 80 − 45. Logo: 80 − 45 = 35 (conferindo: 80 − 45 = 35).
c) "O produto de 9 por 6" é 9 · 6; "o mesmo produto de 18 por 3" é 18 · 3. Fica 9 · 6 = 18 · 3. Conferindo: 54 = 54.
d) "O quociente entre 120 e 4" é 120 : 4; "a soma de 20, 6 e 4" é 20 + 6 + 4. Fica 120 : 4 = 20 + 6 + 4. Conferindo: 30 = 30.
3Dissertativo
Escreva, com suas palavras, uma frase que represente cada igualdade. a) 72 − 30 = 42 b) 180 = 15 · 12 c) 50 + 25 = 60 + 15 d) 14 = 98 : 7
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) A diferença entre 72 e 30 é igual a 42. b) 180 é o produto de 15 por 12. c) A soma de 50 com 25 é igual à soma de 60 com 15. d) 14 é o quociente entre 98 e 7.
Resolução passo a passo
Aqui fazemos o caminho contrário do exercício anterior: lemos os sinais e transformamos em palavras. O sinal − vira diferença, o + vira soma, o · vira produto e o : vira quociente.
a) 72 − 30 = 42: "A diferença entre 72 e 30 é igual a 42."
b) 180 = 15 · 12: "O número 180 é o produto de 15 por 12." (De fato, 15 · 12 = 180.)
c) 50 + 25 = 60 + 15: "A soma de 50 com 25 é igual à soma de 60 com 15." Os dois membros valem 75.
d) 14 = 98 : 7: "O número 14 é o quociente entre 98 e 7." (98 : 7 = 14.)
Outras frases também valem, desde que digam a mesma ideia.
4Calcule
Complete as igualdades com o número que falta, de modo que fiquem corretas. a) 63 = 9 · ____ b) 38 + 22 = ____ − 15 c) ____ + 12 = 144 : 8 d) 7 · 10 = 7 · ____ + 7 · 4
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Resposta
a) 7; b) 75; c) 6; d) 6
Resolução passo a passo
A ideia é sempre calcular o lado que já está completo e depois descobrir o número que falta no outro lado.
a) 63 = 9 · ___. Pensamos: 9 vezes quanto dá 63? Fazemos 63 : 9 = 7. Fica 63 = 9 · 7.
b) 38 + 22 = ___ − 15. O 1º membro dá 38 + 22 = 60. Então precisamos de um número que, menos 15, dê 60: 60 + 15 = 75. Fica 38 + 22 = 75 − 15.
c) ___ + 12 = 144 : 8. O 2º membro dá 144 : 8 = 18. Então o número mais 12 dá 18: 18 − 12 = 6. Fica 6 + 12 = 144 : 8.
d) 7 · 10 = 7 · ___ + 7 · 4. O 1º membro dá 70. No 2º membro, 7 · 4 = 28. Falta chegar a 70: 70 − 28 = 42, e 42 : 7 = 6. Fica 7 · 10 = 7 · 6 + 7 · 4, ou seja, 70 = 42 + 28.
5Dissertativo
A soma de dois números naturais é 9. Quais podem ser esses números? Escreva todas as igualdades possíveis, usando apenas números naturais.
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Resposta
0 + 9 = 9; 1 + 8 = 9; 2 + 7 = 9; 3 + 6 = 9; 4 + 5 = 9 (e as mesmas somas com as parcelas trocadas de lugar: 5 + 4, 6 + 3, 7 + 2, 8 + 1, 9 + 0).
Resolução passo a passo
Os números naturais são 0, 1, 2, 3, 4, ... Vamos organizar a busca para não esquecer nenhum caso.
Começamos pelo menor número possível no primeiro lugar e vamos aumentando de 1 em 1:
0 + 9 = 9 1 + 8 = 9 2 + 7 = 9 3 + 6 = 9 4 + 5 = 9
Depois disso, as duplas começam a se repetir na ordem invertida: 5 + 4, 6 + 3, 7 + 2, 8 + 1 e 9 + 0. Se a ordem das parcelas contar, temos 10 igualdades; se considerarmos apenas as duplas diferentes, são 5 duplas.
Usar essa ordem crescente é o jeito seguro de garantir que todas as possibilidades apareceram.
6Dissertativo
No pedido de uma pizzaria pelo aplicativo aparecem os itens: 2 pizzas grandes de R$ 39,00 cada, 3 refrigerantes de R$ 7,00 cada e taxa de entrega de R$ 6,00. O aplicativo mostrou o total de R$ 105,00. Escreva a igualdade que representa a conta do total e diga se o valor cobrado está correto.
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Resposta
2 · 39 + 3 · 7 + 6 = 105. Sim, o valor cobrado está correto: o total é mesmo R$ 105,00.
Resolução passo a passo
Primeiro escrevemos cada parte do pedido em forma de conta.
As 2 pizzas de R$ 39,00: 2 · 39 = 78. Os 3 refrigerantes de R$ 7,00: 3 · 7 = 21. A entrega: 6.
Agora montamos a igualdade do total: 2 · 39 + 3 · 7 + 6 = 105.
Calculando o 1º membro: 78 + 21 + 6 = 105. O 2º membro também é 105.
Como os dois membros deram o mesmo valor, a igualdade é verdadeira e o aplicativo cobrou o valor certo: R$ 105,00.
7Múltipla escolha
Qual das sentenças abaixo é uma igualdade verdadeira?
Resposta
Alternativa b) 100 : 4 = 20 + 5
Resolução passo a passo
Testamos uma alternativa por vez, calculando os dois membros.
a) 6 · 8 = 48 e 40 + 6 = 46. São diferentes → falsa.
b) 100 : 4 = 25 e 20 + 5 = 25. São iguais → verdadeira.
c) 35 − 12 = 23, mas o outro lado é 25. Diferentes → falsa.
d) 9 + 9 + 9 = 27, mas o outro lado é 30. Diferentes → falsa.
Portanto, a única igualdade verdadeira é a letra b.
Princípio de equivalência para a adição e a subtração
8Calcule
Complete as lacunas de modo que as igualdades continuem verdadeiras. a) 12 = 12 → 12 + ____ = 12 + 5 b) 12 = 12 → 12 − 4 = 12 − ____ c) 30 + 6 = 24 + 12 → 30 + 6 + 10 = 24 + 12 + ____ d) 30 + 6 = 24 + 12 → 30 + 6 − ____ = 24 + 12 − 16
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Resposta
a) 5; b) 4; c) 10; d) 16
Resolução passo a passo
Vamos usar o princípio de equivalência: se somarmos (ou subtrairmos) o mesmo número nos dois membros de uma igualdade, ela continua verdadeira.
a) Do lado direito somaram 5. Então do lado esquerdo também somamos 5: 12 + 5 = 12 + 5 (17 = 17).
b) Do lado esquerdo subtraíram 4. Então do lado direito subtraímos 4: 12 − 4 = 12 − 4 (8 = 8).
c) Como 30 + 6 = 36 e 24 + 12 = 36, os membros são iguais. Somando 10 de um lado, somamos 10 do outro: 46 = 46.
d) Do lado direito subtraíram 16, então do lado esquerdo subtraímos 16: 36 − 16 = 36 − 16, ou seja, 20 = 20.
9Dissertativo
Escreva, com suas palavras, o que acontece com uma igualdade quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número nos seus dois membros. Use um exemplo numérico criado por você para explicar.
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Resposta
Quando somamos ou subtraímos um mesmo número nos dois membros, a igualdade continua verdadeira. Exemplo: de 10 + 5 = 15, somando 7 nos dois lados temos 10 + 5 + 7 = 15 + 7, ou seja, 22 = 22.
Resolução passo a passo
Pense em uma balança de dois pratos em equilíbrio. Se você colocar o mesmo peso nos dois pratos, ela continua equilibrada. Se tirar o mesmo peso dos dois, também continua.
Com igualdades acontece a mesma coisa. Esse é o princípio de equivalência da adição e da subtração.
Exemplo criado por mim: parto de 10 + 5 = 15 (os dois membros valem 15).
Somando 7 nos dois membros: 10 + 5 + 7 = 15 + 7 → 22 = 22. Continua verdadeira.
Subtraindo 4 nos dois membros: 10 + 5 − 4 = 15 − 4 → 11 = 11. Continua verdadeira.
Atenção: se eu somar só de um lado, a igualdade se quebra (o equilíbrio acaba).
10Calcule
Uma balança de dois pratos está em equilíbrio. Em um prato está 25 − 5 e no outro prato está 12 + 8. Complete os espaços mantendo a balança equilibrada. a) 25 − 5 + 7 e 12 + 8 + ____ b) 25 − 5 − ____ e 12 + 8 − 10 c) 25 − 5 + 30 e 12 + 8 + ____ (escreva também o resultado final de cada prato)
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Resposta
a) 7; b) 10; c) 30, e cada prato fica com 50.
Resolução passo a passo
Primeiro conferimos o equilíbrio inicial: um prato tem 25 − 5 = 20 e o outro tem 12 + 8 = 20. Está equilibrada, pois 20 = 20.
a) Somaram 7 no primeiro prato, então somamos 7 no segundo: 20 + 7 = 27 e 20 + 7 = 27. Equilíbrio mantido.
b) Tiraram 10 do segundo prato, então tiramos 10 do primeiro: 20 − 10 = 10 e 20 − 10 = 10.
c) Somaram 30 no primeiro prato, então somamos 30 no segundo. Primeiro prato: 25 − 5 + 30 = 50. Segundo prato: 12 + 8 + 30 = 50. Os dois pratos ficam com 50.
11Calcule
Adicionando 18 anos à idade de Rodrigo, obtemos 41 anos. Qual é a idade de Rodrigo? Mostre como você usou o princípio de equivalência para descobrir.
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Resposta
Rodrigo tem 23 anos.
Resolução passo a passo
Chamamos a idade de Rodrigo de R. A frase vira a igualdade: R + 18 = 41.
Para descobrir R, usamos o princípio de equivalência: subtraímos 18 nos dois membros, porque assim o 18 some do lado esquerdo.
R + 18 − 18 = 41 − 18
R = 23
Conferindo: 23 + 18 = 41. Está certo. Rodrigo tem 23 anos.
12Calcule
Bruno e Tiago são irmãos gêmeos. Somando as idades dos dois hoje, o resultado é 18. Qual será a idade de cada um deles daqui a 15 anos?
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Resposta
Cada um terá 24 anos daqui a 15 anos.
Resolução passo a passo
Gêmeos têm a mesma idade. Se as duas idades juntas dão 18, cada um tem a metade.
18 : 2 = 9. Logo, hoje Bruno tem 9 anos e Tiago tem 9 anos.
Daqui a 15 anos, cada um terá 15 anos a mais: 9 + 15 = 24.
Então, daqui a 15 anos, cada irmão terá 24 anos (e a soma das idades será 48).
13Verdadeiro ou falso
Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e corrija as falsas. a) Se 8 + 3 = 11, então 8 + 3 + 6 = 11 + 6. b) Se 20 = 20, então 20 − 7 = 20 − 9. c) Se 15 + 5 = 10 + 10, então 15 + 5 − 4 = 10 + 10 − 4. d) Se a = b, posso somar 100 apenas no primeiro membro que a igualdade continua verdadeira.
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Resposta
a) V; b) F — o certo é 20 − 7 = 20 − 7 (ou 13 = 13); c) V; d) F — é preciso somar 100 nos dois membros: a + 100 = b + 100.
Resolução passo a passo
a) Como 8 + 3 = 11 é verdadeira, podemos somar 6 nos dois membros: 8 + 3 + 6 = 17 e 11 + 6 = 17. Verdadeira (V).
b) Aqui subtraíram números diferentes: 7 de um lado e 9 do outro. Fica 13 e 11, que são diferentes. Falsa (F). Correção: 20 − 7 = 20 − 7, isto é, 13 = 13.
c) 15 + 5 = 20 e 10 + 10 = 20. Tirando 4 dos dois lados: 16 = 16. Verdadeira (V).
d) Somar em apenas um membro quebra o equilíbrio, como tirar peso de um prato só da balança. Falsa (F). Correção: se a = b, então a + 100 = b + 100.
14Múltipla escolha
Partindo da igualdade 47 = 47, qual operação mantém a igualdade verdadeira?
Resposta
Alternativa b) 47 − 20 = 47 − 20
Resolução passo a passo
A igualdade só continua verdadeira se fizermos a mesma operação com o mesmo número nos dois membros.
a) Somaram 9 de um lado e 8 do outro: 56 e 55. Diferentes → não serve.
b) Subtraíram 20 dos dois lados: 27 = 27. Serve.
c) Somaram de um lado e subtraíram do outro: 52 e 42. Diferentes → não serve.
d) Subtraíram 0 de um lado e 3 do outro: 47 e 44. Diferentes → não serve.
Resposta: alternativa b.
Princípio de equivalência para a multiplicação e a divisão
15Dissertativo
Observe a tabela abaixo. Os números da 2ª linha são obtidos a partir dos números da 1ª linha sempre da mesma maneira.
a) Qual é o padrão usado? Complete: "Os números da 2ª linha são obtidos ao ____________ os números da 1ª linha por ____." b) Complete os valores que faltam na tabela.
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Resposta
a) "Os números da 2ª linha são obtidos ao multiplicar os números da 1ª linha por 7." b) 1ª linha: 2, 3, 5, 7, 9, 20; 2ª linha: 14, 21, 35, 49, 63, 140.
Resolução passo a passo
a) Comparamos as colunas que já estão completas: 2 → 14 e 3 → 21. Como 14 : 2 = 7 e 21 : 3 = 7, o padrão é multiplicar por 7.
b) Agora aplicamos o padrão em cada coluna.
5 · 7 = 35
7 · 7 = 49
Na coluna do 63, precisamos do número da 1ª linha: fazemos a operação inversa, 63 : 7 = 9.
20 · 7 = 140
Tabela completa — 1ª linha: 2, 3, 5, 7, 9, 20; 2ª linha: 14, 21, 35, 49, 63, 140.
a) Qual é o padrão usado? Complete: "Os números da 2ª linha são obtidos ao ____________ os números da 1ª linha por ____." b) Complete os valores que faltam na tabela.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) "Os números da 2ª linha são obtidos ao dividir os números da 1ª linha por 4." b) 1ª linha: 20, 32, 44, 60, 80, 100; 2ª linha: 5, 8, 11, 15, 20, 25.
Resolução passo a passo
a) Olhamos as colunas completas: 20 → 5 e 32 → 8. Como 20 : 5 = 4 e 32 : 8 = 4, o padrão é dividir por 4.
b) Aplicando o padrão:
44 : 4 = 11
60 : 4 = 15
Nas duas últimas colunas conhecemos a 2ª linha, então fazemos a operação inversa (multiplicar por 4): 20 · 4 = 80 e 25 · 4 = 100.
Tabela completa — 1ª linha: 20, 32, 44, 60, 80, 100; 2ª linha: 5, 8, 11, 15, 20, 25.
17Calcule
Complete as lacunas para que as igualdades permaneçam verdadeiras. a) Partindo de 6 = 6, faz-se 6 · ____ = 6 · ____ e obtém-se 42 = 42. b) Partindo de 64 = 64, faz-se 64 : ____ = 64 : ____ e obtém-se 8 = 8. c) Partindo de 3 · 5 = 15, faz-se 3 · 5 · 4 = 15 · ____ e obtém-se ____ = ____. d) Partindo de 90 : 3 = 30, faz-se 90 : 3 : ____ = 30 : 5 e obtém-se ____ = ____.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 7 e 7; b) 8 e 8; c) 4, obtendo 60 = 60; d) 5, obtendo 6 = 6
Resolução passo a passo
O princípio de equivalência também vale na multiplicação e na divisão: multiplicando ou dividindo os dois membros pelo mesmo número (diferente de zero), a igualdade continua verdadeira.
a) Queremos chegar em 42 a partir de 6. Como 42 : 6 = 7, multiplicamos os dois lados por 7: 6 · 7 = 6 · 7 → 42 = 42.
b) Queremos chegar em 8 a partir de 64. Como 64 : 8 = 8, dividimos os dois lados por 8: 64 : 8 = 64 : 8 → 8 = 8.
c) Multiplicaram o 1º membro por 4, então multiplicamos o 2º por 4: 3 · 5 · 4 = 15 · 4 → 60 = 60.
d) Dividiram o 2º membro por 5, então dividimos o 1º por 5: 90 : 3 : 5 = 30 : 5 → 30 : 5 = 6, logo 6 = 6.
18Dissertativo
Escreva uma conclusão sobre o que acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um mesmo número. Explique também por que, na divisão, esse número não pode ser zero.
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Resposta
Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, ela continua verdadeira. Na divisão, esse número não pode ser zero, porque não existe divisão por zero.
Resolução passo a passo
Conclusão: se dois membros são iguais e fazemos com eles exatamente a mesma multiplicação (ou a mesma divisão), os resultados continuam iguais.
Exemplo com multiplicação: de 8 = 8, multiplicando os dois lados por 3, fica 24 = 24.
Exemplo com divisão: de 20 + 4 = 12 · 2 (24 = 24), dividindo os dois lados por 6, fica 4 = 4.
Por que não pode dividir por zero? Porque dividir 24 por 0 seria perguntar "qual número multiplicado por 0 dá 24?". Nenhum número serve, já que qualquer número vezes 0 dá 0.
Por isso dizemos: a divisão por zero não existe e o divisor precisa ser diferente de 0.
19Calcule
Marina brincou de fazer contas de cabeça. Ela começou com o número 3, dobrou o valor, depois triplicou o resultado obtido e, por fim, multiplicou por 5 o número que ficou. a) Escreva a sequência dos resultados: 3 → ____ → ____ → ____ b) Se o resultado final de Marina tivesse sido 300, fazendo as mesmas operações, qual seria o número escolhido no começo?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 3 → 6 → 18 → 90; b) o número escolhido seria 10.
c) 8 · 5 · 2 = 80 e 40 : 2 = 20. Diferentes → não serve.
d) 8 · 5 : 5 = 8 e 40 · 5 = 200. Diferentes → não serve.
Resposta: alternativa b.
Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais – relações aditivas
22Calcule
Beatriz e Otávio juntaram dinheiro para comprar um presente de R$ 180,00 para o pai deles. a) Se os dois tivessem dado a mesma quantia, quanto cada um teria colocado? b) Sabendo que Beatriz deu R$ 40,00 a mais que Otávio, quanto cada um contribuiu? c) E se Otávio tivesse dado R$ 60,00 a mais que Beatriz, qual seria a quantia de cada um?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) R$ 90,00 cada um; b) Beatriz R$ 110,00 e Otávio R$ 70,00; c) Otávio R$ 120,00 e Beatriz R$ 60,00.
Resolução passo a passo
a) Se as quantias fossem iguais, bastaria dividir por 2: 180 : 2 = R$ 90,00 para cada um.
b) Beatriz deu R$ 40,00 a mais. O truque é tirar a diferença do total, para sobrar duas partes iguais.
180 − 40 = 140 → 140 : 2 = 70.
Então Otávio (o que deu menos) colocou R$ 70,00 e Beatriz colocou 70 + 40 = R$ 110,00. Conferindo: 110 + 70 = 180 e a diferença é 40.
c) Agora quem deu R$ 60,00 a mais é Otávio. Fazemos o mesmo: 180 − 60 = 120 → 120 : 2 = 60.
Beatriz ficaria com R$ 60,00 e Otávio com 60 + 60 = R$ 120,00. Conferindo: 60 + 120 = 180.
23Calcule
Um caderno custa R$ 8,00 a mais que uma borracha. Comprando 2 borrachas e 1 caderno, gasta-se R$ 20,00. Qual é o preço de cada objeto? Mostre seu raciocínio.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A borracha custa R$ 4,00 e o caderno custa R$ 12,00.
Resolução passo a passo
Chamamos o preço da borracha de b. Como o caderno custa R$ 8,00 a mais, seu preço é b + 8.
A compra foi 2 borrachas e 1 caderno, gastando 20 reais:
b + b + (b + 8) = 20
Juntando as borrachas iguais: 3 · b + 8 = 20.
Subtraímos 8 nos dois membros (princípio de equivalência): 3 · b = 12.
Dividimos os dois membros por 3: b = 4.
Então a borracha custa R$ 4,00 e o caderno custa 4 + 8 = R$ 12,00. Conferindo: 4 + 4 + 12 = 20. ✓
24Calcule
A diferença entre as idades das irmãs Helena e Nina é de 7 anos, e a soma das idades é 45 anos. Qual é a idade de cada uma, sabendo que Helena é a mais velha?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Helena tem 26 anos e Nina tem 19 anos.
Resolução passo a passo
Sabemos a soma (45) e a diferença (7) das idades.
Passo 1: tiramos a diferença da soma, para ficar como se as duas tivessem a mesma idade: 45 − 7 = 38.
Passo 2: dividimos por 2: 38 : 2 = 19. Essa é a idade da mais nova, Nina.
Passo 3: a mais velha tem 7 anos a mais: 19 + 7 = 26. Essa é a idade de Helena.
Juntos, Pedro e Vitória correram 30 km em uma semana. Vitória correu 6 km a mais que Pedro. Quantos quilômetros cada um correu?
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Resposta
Pedro correu 12 km e Vitória correu 18 km.
Resolução passo a passo
A soma é 30 km e a diferença é 6 km.
Passo 1: 30 − 6 = 24 (o que sobra depois de "guardar" a vantagem de Vitória).
Passo 2: 24 : 2 = 12. Como Pedro correu menos, ele correu 12 km.
Passo 3: Vitória correu 6 km a mais: 12 + 6 = 18 km.
Conferindo: 12 + 18 = 30 km e 18 − 12 = 6 km. ✓
26Calcule
Uma empresa vai pagar R$ 12 000,00 por um serviço feito por duas pessoas. Uma trabalhou 20 horas e a outra, 40 horas na mesma atividade. Sabendo que o pagamento deve ser proporcional ao tempo de trabalho, quanto receberá cada pessoa?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Quem trabalhou 20 horas recebe R$ 4 000,00 e quem trabalhou 40 horas recebe R$ 8 000,00.
Resolução passo a passo
Pagamento proporcional ao tempo quer dizer que cada hora vale o mesmo valor.
Passo 1: somamos as horas: 20 + 40 = 60 horas no total.
Passo 2: descobrimos quanto vale 1 hora: 12 000 : 60 = 200 reais por hora.
Passo 3: multiplicamos pelas horas de cada um.
20 · 200 = R$ 4 000,00
40 · 200 = R$ 8 000,00
Conferindo: 4 000 + 8 000 = 12 000. ✓ Note que quem trabalhou o dobro do tempo recebeu o dobro do dinheiro.
27Calcule
Os alunos de duas turmas arrecadaram 800 tampinhas para uma decoração. A turma A fará arranjos com 20 tampinhas cada e a turma B, arranjos com 60 tampinhas cada. As duas turmas farão a mesma quantidade de arranjos. Quantas tampinhas cada turma deve receber?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A turma A recebe 200 tampinhas e a turma B recebe 600 tampinhas (cada turma faz 10 arranjos).
Resolução passo a passo
Chamamos de n a quantidade de arranjos que cada turma vai fazer (é a mesma para as duas).
A turma A gasta 20 tampinhas por arranjo: usa 20 · n. A turma B gasta 60 por arranjo: usa 60 · n.
Juntas usam 800 tampinhas:
20 · n + 60 · n = 800 → 80 · n = 800.
Dividimos os dois membros por 80: n = 10 arranjos para cada turma.
Agora calculamos as tampinhas: turma A → 20 · 10 = 200; turma B → 60 · 10 = 600.
Conferindo: 200 + 600 = 800. ✓
28Múltipla escolha
Dois amigos dividiram 90 figurinhas de modo que um ficou com 10 a mais que o outro. Quantas figurinhas ficaram com cada um?
Resposta
Alternativa a) 40 e 50
Resolução passo a passo
Soma 90 e diferença 10.
Passo 1: 90 − 10 = 80.
Passo 2: 80 : 2 = 40 → o que ficou com menos tem 40 figurinhas.
Passo 3: 40 + 10 = 50 → o outro ficou com 50.
Conferindo: 40 + 50 = 90 e 50 − 40 = 10. As demais alternativas não têm diferença 10 (b tem 0, c tem 20, d tem 30). Resposta: a.
Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais – relações multiplicativas
29Calcule
A receita do "Bolo da Tia Rosa" serve 8 pessoas e usa: 400 g de farinha, 200 g de açúcar, 4 ovos, 2 xícaras de leite e 1 colher de fermento. a) Quantos ovos são necessários para uma receita que sirva 16 pessoas? b) Quantos gramas de açúcar são necessários para uma receita que sirva 4 pessoas? c) Quantas xícaras de leite são necessárias para uma receita que sirva 24 pessoas? d) Quantos gramas de farinha são necessários para uma receita que sirva 2 pessoas?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 8 ovos; b) 100 g de açúcar; c) 6 xícaras de leite; d) 100 g de farinha.
Resolução passo a passo
A receita original serve 8 pessoas. Sempre comparamos o novo número de pessoas com 8 e usamos o mesmo "fator" em todos os ingredientes.
a) 16 pessoas é o dobro de 8 (16 : 8 = 2). Então dobramos os ovos: 4 · 2 = 8 ovos.
b) 4 pessoas é a metade de 8. Então usamos metade do açúcar: 200 : 2 = 100 g.
c) 24 pessoas é o triplo de 8 (24 : 8 = 3). Então: 2 · 3 = 6 xícaras de leite.
d) 2 pessoas é a quarta parte de 8 (8 : 2 = 4). Então dividimos a farinha por 4: 400 : 4 = 100 g.
30Calcule
Três ciclistas fizeram um passeio de 90 km e cada um parou para descansar em um ponto diferente do caminho. • Ciclista 1: parou na metade do caminho. • Ciclista 2: parou faltando um terço do percurso para chegar ao fim. • Ciclista 3: parou quando a distância já percorrida era a metade da distância que ainda faltava.
Determine, para cada ciclista, quantos quilômetros ele já tinha percorrido e quantos ainda faltavam no momento da parada.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Ciclista 1: 45 km percorridos e 45 km faltando. Ciclista 2: 60 km percorridos e 30 km faltando. Ciclista 3: 30 km percorridos e 60 km faltando.
Resolução passo a passo
O percurso todo tem 90 km. Em cada caso, o que foi percorrido mais o que falta deve dar 90.
Ciclista 1 — parou na metade: 90 : 2 = 45. Percorreu 45 km e faltavam 45 km.
Ciclista 2 — faltava um terço do percurso: 90 : 3 = 30. Faltavam 30 km, então já tinha percorrido 90 − 30 = 60 km.
Ciclista 3 — o percorrido era a metade do que faltava. Pensando em partes iguais: o percorrido vale 1 parte e o que falta vale 2 partes, somando 3 partes.
90 : 3 = 30 → cada parte vale 30 km.
Percorrido = 1 parte = 30 km; faltando = 2 partes = 60 km. Conferindo: 30 + 60 = 90 e 30 é a metade de 60. ✓
31Calcule
Laura precisa percorrer 240 km para chegar à casa da avó. Ela vai parar para almoçar depois de percorrer três quartos dessa distância. Após quantos quilômetros Laura fará a parada e quantos quilômetros faltarão para o fim da viagem?
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Resposta
Laura para depois de 180 km e ainda faltarão 60 km.
Resolução passo a passo
Três quartos significa dividir o caminho em 4 partes iguais e pegar 3 delas.
Passo 1: 240 : 4 = 60 km (cada parte).
Passo 2: três partes → 3 · 60 = 180 km. É aí que ela almoça.
Passo 3: o que falta é a parte que sobrou: 240 − 180 = 60 km (ou simplesmente 1 parte de 60 km).
Conferindo: 180 + 60 = 240. ✓
32Calcule
Para ir de casa até a escola, Miguel caminha 15 quarteirões. Na terça parte do caminho, ele passa em frente à padaria. Saindo da padaria, quantos quarteirões Miguel ainda precisa caminhar?
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Resposta
Miguel ainda precisa caminhar 10 quarteirões.
Resolução passo a passo
A terça parte quer dizer dividir o caminho em 3 partes iguais e pegar uma.
Passo 1: 15 : 3 = 5 quarteirões. A padaria fica no 5º quarteirão.
Passo 2: o que ainda falta é o total menos o que já andou: 15 − 5 = 10 quarteirões.
Ou seja, depois da padaria ele caminha o dobro do que já caminhou. ✓
33Calcule
Uma caixa tem 36 bombons. Kauê separou uma quantidade para o irmão e o dobro dessa quantidade para os primos, usando todos os bombons. Quantos bombons foram para os primos?
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Resposta
Foram 24 bombons para os primos (e 12 para o irmão).
Resolução passo a passo
Chamamos de x a quantidade que foi para o irmão. Os primos receberam o dobro, ou seja, 2 · x.
Como todos os 36 bombons foram usados:
x + 2 · x = 36 → 3 · x = 36.
Dividimos os dois membros por 3: x = 12.
Então o irmão recebeu 12 bombons e os primos receberam 2 · 12 = 24 bombons.
Conferindo: 12 + 24 = 36. ✓
34Múltipla escolha
Em uma turma há 45 alunos. O número de meninas é o dobro do número de meninos. Quantas meninas e quantos meninos há nessa turma?
Resposta
Alternativa b) 30 meninas e 15 meninos
Resolução passo a passo
Chamamos o número de meninos de m. O número de meninas é o dobro: 2 · m.
Juntos são 45 alunos: m + 2 · m = 45 → 3 · m = 45.
Dividindo os dois membros por 3: m = 15 meninos.
Meninas: 2 · 15 = 30.
Conferindo: 15 + 30 = 45 e 30 é o dobro de 15. Resposta: alternativa b.
Explore seus conhecimentos
35Dissertativo
Represente matematicamente as frases a seguir. a) O número 95 é a soma de 40 com 55. b) O quociente entre 72 e 8 é 9. c) A adição entre 30 e 19 é igual ao quadrado do número 7.
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Resposta
a) 95 = 40 + 55; b) 72 : 8 = 9; c) 30 + 19 = 7²
Resolução passo a passo
a) "95 é a soma de 40 com 55" → 95 = 40 + 55. Conferindo: 40 + 55 = 95. ✓
b) "O quociente entre 72 e 8" é a divisão 72 : 8. Então: 72 : 8 = 9. Conferindo: 72 : 8 = 9. ✓
c) "A adição entre 30 e 19" é 30 + 19. O quadrado de 7 é 7 · 7, que escrevemos como 7².
Fica 30 + 19 = 7². Conferindo: 30 + 19 = 49 e 7² = 49. ✓
36Calcule
Subtraindo 13 anos da idade de Marcos, obtemos 29 anos. Qual é a idade de Marcos?
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Resposta
Marcos tem 42 anos.
Resolução passo a passo
Chamamos a idade de Marcos de M. A frase vira: M − 13 = 29.
Usamos o princípio de equivalência e somamos 13 nos dois membros:
M − 13 + 13 = 29 + 13
M = 42.
Conferindo: 42 − 13 = 29. ✓ Marcos tem 42 anos.
37Dissertativo
A soma de três números naturais consecutivos é igual a 96. Que números são esses? Escreva a igualdade ____ + ____ + ____ = 96 completa e explique como pensou.
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Resposta
31 + 32 + 33 = 96
Resolução passo a passo
Números consecutivos são números que vêm um logo depois do outro, como 31, 32, 33.
Se o menor deles é n, os outros são n + 1 e n + 2. A soma é:
n + (n + 1) + (n + 2) = 96 → 3 · n + 3 = 96.
Subtraímos 3 nos dois membros: 3 · n = 93.
Dividimos os dois membros por 3: n = 31.
Outro jeito rápido de pensar: o número do meio é a média, ou seja, 96 : 3 = 32. Então os vizinhos são 31 e 33.
Rafael comprou 3 canetas iguais e pagou R$ 12,00. Quanto ele pagaria se tivesse comprado 15 canetas do mesmo tipo?
Resposta
Alternativa c) R$ 60,00
Resolução passo a passo
Primeiro achamos o preço de uma caneta: 12 : 3 = R$ 4,00.
Depois multiplicamos pelo novo número de canetas: 15 · 4 = 60.
Outro caminho: 15 é 5 vezes 3, então o preço também fica 5 vezes maior: 12 · 5 = 60.
Resposta: R$ 60,00, alternativa c.
39Múltipla escolha
Uma escola gravou um vídeo formado por 40 trechos de 6 minutos cada. Se os trechos tivessem 4 minutos de duração, quantos trechos formariam o mesmo vídeo?
Resposta
Alternativa c) 60
Resolução passo a passo
Passo 1: descobrimos a duração total do vídeo: 40 · 6 = 240 minutos.
Passo 2: o vídeo continua com 240 minutos, mas agora cada trecho tem 4 minutos. Dividimos:
240 : 4 = 60.
Seriam necessários 60 trechos. Faz sentido: como cada trecho ficou menor, o número de trechos aumentou. Alternativa c.
40Múltipla escolha
Uma mochila e um estojo custam, juntos, R$ 150,00. A mesma mochila com uma lancheira custa R$ 200,00. Sabendo que a lancheira custa o mesmo preço de dois estojos, quanto custam juntos uma mochila, uma lancheira e um estojo?
Resposta
Alternativa b) R$ 250,00
Resolução passo a passo
Escrevemos o que sabemos: mochila + estojo = 150; mochila + lancheira = 200; lancheira = 2 estojos.
Trocando a lancheira por dois estojos na segunda frase: mochila + estojo + estojo = 200.
Mas mochila + estojo = 150. Então 150 + estojo = 200, e o estojo custa 200 − 150 = R$ 50,00.
Como mochila + estojo = 150, a mochila custa 150 − 50 = R$ 100,00. A lancheira vale 2 estojos: 2 · 50 = R$ 100,00.
Juntando os três: 100 + 100 + 50 = R$ 250,00. Alternativa b.
41Múltipla escolha
Dona Cida guarda seus livros em caixas. Usando caixas que cabem 12 livros, ela precisa de 20 caixas. Na mesma proporção, se usar caixas que cabem 15 livros, de quantas caixas ela vai precisar?
Resposta
Alternativa b) 16 caixas
Resolução passo a passo
Passo 1: quantos livros ela tem? 12 livros por caixa em 20 caixas: 12 · 20 = 240 livros.
Passo 2: agora cada caixa cabe 15 livros. Dividimos:
240 : 15 = 16.
Ela vai precisar de 16 caixas. Faz sentido: como as caixas ficaram maiores, o número de caixas diminuiu. Alternativa b.
42Calcule
Uma professora deu a seguinte pista sobre a idade do seu filho: "É o resultado do produto entre os dois menores números primos, somado a 15". Quantos anos tem o filho dessa professora? Mostre o cálculo.
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Resposta
O filho tem 21 anos.
Resolução passo a passo
Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo.
Os primos em ordem são: 2, 3, 5, 7, 11... Então os dois menores números primos são 2 e 3. (Cuidado: o 1 não é primo, pois tem só um divisor.)
Passo 1: o produto entre eles: 2 · 3 = 6.
Passo 2: somamos 15: 6 + 15 = 21.
A igualdade fica 2 · 3 + 15 = 21. O filho da professora tem 21 anos.
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Capítulo 10 – Propriedades da igualdade e resolução de problemas
Resumo rápido
Capítulo 10 – Propriedades da igualdade e resolução de problemas
Resumo rápido
1Conceito de igualdade
Uma igualdade é uma sentença matemática que mostra que duas expressões valem a mesma coisa. Ela é escrita com o sinal de igual (=).
A igualdade tem duas partes: o 1º membro, que fica à esquerda do sinal de igual, e o 2º membro, que fica à direita.
As operações (somar, subtrair, multiplicar e dividir) podem aparecer em um membro, no outro ou nos dois. Para a igualdade ser verdadeira, os dois membros precisam ter o mesmo valor.
📐 Para guardar
a = b (a e b são expressões diferentes para o mesmo valor)
Exemplo
Uma TV custa R$ 2 200,00 à vista ou 5 parcelas de R$ 440,00. Isso vira a igualdade 2 200 = 5 · 440, pois os dois lados valem 2 200.
1.1Verificando se a igualdade é verdadeira
Basta calcular cada membro e comparar os resultados. Se derem o mesmo número, a igualdade é verdadeira; se não, é falsa e precisa ser corrigida.
Exemplo
12 + 9 = 21 é verdadeira. Já 10 : 2 = 6 é falsa, pois 10 : 2 = 5. O correto seria 10 : 2 = 5.
2Princípio de equivalência para a adição e a subtração
Pense em uma balança de dois pratos em equilíbrio: os dois lados têm a mesma massa. A igualdade funciona assim.
Se você coloca (ou tira) um peso de um lado, precisa colocar (ou tirar) o mesmo peso do outro lado para a balança continuar equilibrada.
Princípio de equivalência para adição e subtração: ao somar ou subtrair um mesmo número nos dois membros de uma igualdade, ela continua verdadeira.
📐 Para guardar
Se a = b, então a + c = b + c
Se a = b, então a − c = b − c
Exemplo
Adicionando 14 anos à idade de Patrícia, obtemos 33. Escrevemos idade + 14 = 33. Tirando 14 dos dois lados: idade = 33 − 14 = 19 anos.
3Princípio de equivalência para a multiplicação e a divisão
A mesma ideia da balança vale para multiplicar e dividir.
Princípio de equivalência para multiplicação e divisão: se um membro da igualdade é multiplicado ou dividido por um número, o outro membro deve ser multiplicado ou dividido pelo mesmo número. Na divisão, esse número não pode ser zero.
📐 Para guardar
Se a = b, então a · c = b · c
Se a = b, então a : c = b : c (com c ≠ 0)
Exemplo
Multiplicando a idade de Joana por 5, obtemos 105. Temos idade · 5 = 105. Dividindo os dois lados por 5: idade = 21 anos.
4Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais
Nem sempre dividir em partes iguais é justo. Às vezes uma parte deve ser maior que a outra. Chamamos isso de partilha em partes desiguais.
4.1Relações aditivas (uma parte é X a mais que a outra)
Quando uma parte tem um valor a mais que a outra, use este caminho: tire a diferença do total, divida o resultado por 2 (isso dá a parte menor) e depois some a diferença para achar a parte maior.
📐 Para guardar
parte menor = (total − diferença) : 2
parte maior = parte menor + diferença
Exemplo
Clara e Victor juntaram R$ 250,00 e Clara deu R$ 50,00 a mais. Fazemos (250 − 50) : 2 = 100 → Victor deu R$ 100,00 e Clara deu R$ 150,00.
4.2Relações multiplicativas (uma parte é o dobro, o triplo, a metade...)
Quando uma parte é o dobro, o triplo ou uma fração da outra, dividimos o total em partes iguais e depois damos a quantidade certa de partes a cada um.
Se uma parte é o dobro da outra, o total tem 1 + 2 = 3 partes iguais.
📐 Para guardar
valor de 1 parte = total : (número total de partes)
Exemplo
Um bolo de 27 pedaços: a família fica com uma quantidade e Sophia leva o dobro. São 3 partes iguais: 27 : 3 = 9. A família fica com 9 e Sophia leva 18 pedaços.
4.3Partilha proporcional
Quando a divisão deve ser proporcional (por exemplo, ao tempo trabalhado), somamos as quantidades para saber em quantas partes o total será dividido.
Exemplo
R$ 15 000,00 para duas pessoas que trabalharam 25 h e 50 h: total de 75 h. Cada hora vale 15 000 : 75 = R$ 200,00. Assim, uma recebe R$ 5 000,00 e a outra R$ 10 000,00.
5Resumo do capítulo
Você aprendeu: o conceito de igualdade e seus dois membros; os princípios de equivalência (o que se faz de um lado deve ser feito do outro); e a resolução de problemas com divisão em partes desiguais, usando relações aditivas e multiplicativas.
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Conceito de igualdade
1Dissertativo
Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o sinal de igual (=). Ela mostra que o valor do lado esquerdo (o 1º membro) é o mesmo valor do lado direito (o 2º membro). Por exemplo: 20 + 5 = 25.
Analise cada igualdade abaixo. Escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique fazendo as contas. Quando for falsa, reescreva-a de um jeito que fique correta. a) 17 + 8 = 25 b) 40 = 6 · 7 c) 90 : 3 = 30 d) 52 − 19 = 43
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) Verdadeira. b) Falsa (6 · 7 = 42); correção: 42 = 6 · 7. c) Verdadeira. d) Falsa (52 − 19 = 33); correção: 52 − 19 = 33.
Resolução passo a passo
Para saber se uma igualdade é verdadeira, calculamos o valor de cada lado. O lado esquerdo é o 1º membro e o lado direito é o 2º membro. Se os dois derem o mesmo número, a igualdade é verdadeira.
a) 1º membro: 17 + 8 = 25. 2º membro: 25. Os dois valem 25, então a igualdade é verdadeira.
b) 1º membro: 40. 2º membro: 6 · 7 = 42. Como 40 é diferente de 42, a igualdade é falsa. Para consertar, escrevemos 42 = 6 · 7 (ou, se quisermos manter o 40, 40 = 5 · 8).
c) 1º membro: 90 : 3 = 30. 2º membro: 30. Os dois valem 30, então é verdadeira.
d) 1º membro: 52 − 19 = 33. 2º membro: 43. Como 33 é diferente de 43, é falsa. Corrigindo: 52 − 19 = 33.
2Dissertativo
Represente cada frase por meio de uma igualdade matemática. a) A soma de 24 com 36 é igual a 60. b) A diferença entre 80 e 45 é igual a 35. c) O produto de 9 por 6 é o mesmo produto de 18 por 3. d) O quociente entre 120 e 4 é igual à soma de 20, 6 e 4.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 24 + 36 = 60; b) 80 − 45 = 35; c) 9 · 6 = 18 · 3; d) 120 : 4 = 20 + 6 + 4
Resolução passo a passo
Cada palavra da frase vira um sinal na matemática. Soma vira +, diferença vira −, produto vira ·, quociente vira : e é igual a vira =.
a) "A soma de 24 com 36" é 24 + 36. "É igual a 60" fecha com = 60. Fica 24 + 36 = 60 (e conferindo: 24 + 36 = 60, verdadeira).
b) "A diferença entre 80 e 45" é 80 − 45. Logo: 80 − 45 = 35 (conferindo: 80 − 45 = 35).
c) "O produto de 9 por 6" é 9 · 6; "o mesmo produto de 18 por 3" é 18 · 3. Fica 9 · 6 = 18 · 3. Conferindo: 54 = 54.
d) "O quociente entre 120 e 4" é 120 : 4; "a soma de 20, 6 e 4" é 20 + 6 + 4. Fica 120 : 4 = 20 + 6 + 4. Conferindo: 30 = 30.
3Calcule
Complete as igualdades com o número que falta, de modo que fiquem corretas. a) 63 = 9 · ____ b) 38 + 22 = ____ − 15 c) ____ + 12 = 144 : 8 d) 7 · 10 = 7 · ____ + 7 · 4
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 7; b) 75; c) 6; d) 6
Resolução passo a passo
A ideia é sempre calcular o lado que já está completo e depois descobrir o número que falta no outro lado.
a) 63 = 9 · ___. Pensamos: 9 vezes quanto dá 63? Fazemos 63 : 9 = 7. Fica 63 = 9 · 7.
b) 38 + 22 = ___ − 15. O 1º membro dá 38 + 22 = 60. Então precisamos de um número que, menos 15, dê 60: 60 + 15 = 75. Fica 38 + 22 = 75 − 15.
c) ___ + 12 = 144 : 8. O 2º membro dá 144 : 8 = 18. Então o número mais 12 dá 18: 18 − 12 = 6. Fica 6 + 12 = 144 : 8.
d) 7 · 10 = 7 · ___ + 7 · 4. O 1º membro dá 70. No 2º membro, 7 · 4 = 28. Falta chegar a 70: 70 − 28 = 42, e 42 : 7 = 6. Fica 7 · 10 = 7 · 6 + 7 · 4, ou seja, 70 = 42 + 28.
4Dissertativo
No pedido de uma pizzaria pelo aplicativo aparecem os itens: 2 pizzas grandes de R$ 39,00 cada, 3 refrigerantes de R$ 7,00 cada e taxa de entrega de R$ 6,00. O aplicativo mostrou o total de R$ 105,00. Escreva a igualdade que representa a conta do total e diga se o valor cobrado está correto.
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Resposta
2 · 39 + 3 · 7 + 6 = 105. Sim, o valor cobrado está correto: o total é mesmo R$ 105,00.
Resolução passo a passo
Primeiro escrevemos cada parte do pedido em forma de conta.
As 2 pizzas de R$ 39,00: 2 · 39 = 78. Os 3 refrigerantes de R$ 7,00: 3 · 7 = 21. A entrega: 6.
Agora montamos a igualdade do total: 2 · 39 + 3 · 7 + 6 = 105.
Calculando o 1º membro: 78 + 21 + 6 = 105. O 2º membro também é 105.
Como os dois membros deram o mesmo valor, a igualdade é verdadeira e o aplicativo cobrou o valor certo: R$ 105,00.
5Múltipla escolha
Qual das sentenças abaixo é uma igualdade verdadeira?
Resposta
Alternativa b) 100 : 4 = 20 + 5
Resolução passo a passo
Testamos uma alternativa por vez, calculando os dois membros.
a) 6 · 8 = 48 e 40 + 6 = 46. São diferentes → falsa.
b) 100 : 4 = 25 e 20 + 5 = 25. São iguais → verdadeira.
c) 35 − 12 = 23, mas o outro lado é 25. Diferentes → falsa.
d) 9 + 9 + 9 = 27, mas o outro lado é 30. Diferentes → falsa.
Portanto, a única igualdade verdadeira é a letra b.
Princípio de equivalência para a adição e a subtração
6Calcule
Complete as lacunas de modo que as igualdades continuem verdadeiras. a) 12 = 12 → 12 + ____ = 12 + 5 b) 12 = 12 → 12 − 4 = 12 − ____ c) 30 + 6 = 24 + 12 → 30 + 6 + 10 = 24 + 12 + ____ d) 30 + 6 = 24 + 12 → 30 + 6 − ____ = 24 + 12 − 16
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 5; b) 4; c) 10; d) 16
Resolução passo a passo
Vamos usar o princípio de equivalência: se somarmos (ou subtrairmos) o mesmo número nos dois membros de uma igualdade, ela continua verdadeira.
a) Do lado direito somaram 5. Então do lado esquerdo também somamos 5: 12 + 5 = 12 + 5 (17 = 17).
b) Do lado esquerdo subtraíram 4. Então do lado direito subtraímos 4: 12 − 4 = 12 − 4 (8 = 8).
c) Como 30 + 6 = 36 e 24 + 12 = 36, os membros são iguais. Somando 10 de um lado, somamos 10 do outro: 46 = 46.
d) Do lado direito subtraíram 16, então do lado esquerdo subtraímos 16: 36 − 16 = 36 − 16, ou seja, 20 = 20.
7Calcule
Adicionando 18 anos à idade de Rodrigo, obtemos 41 anos. Qual é a idade de Rodrigo? Mostre como você usou o princípio de equivalência para descobrir.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Rodrigo tem 23 anos.
Resolução passo a passo
Chamamos a idade de Rodrigo de R. A frase vira a igualdade: R + 18 = 41.
Para descobrir R, usamos o princípio de equivalência: subtraímos 18 nos dois membros, porque assim o 18 some do lado esquerdo.
R + 18 − 18 = 41 − 18
R = 23
Conferindo: 23 + 18 = 41. Está certo. Rodrigo tem 23 anos.
8Verdadeiro ou falso
Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e corrija as falsas. a) Se 8 + 3 = 11, então 8 + 3 + 6 = 11 + 6. b) Se 20 = 20, então 20 − 7 = 20 − 9. c) Se 15 + 5 = 10 + 10, então 15 + 5 − 4 = 10 + 10 − 4. d) Se a = b, posso somar 100 apenas no primeiro membro que a igualdade continua verdadeira.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) V; b) F — o certo é 20 − 7 = 20 − 7 (ou 13 = 13); c) V; d) F — é preciso somar 100 nos dois membros: a + 100 = b + 100.
Resolução passo a passo
a) Como 8 + 3 = 11 é verdadeira, podemos somar 6 nos dois membros: 8 + 3 + 6 = 17 e 11 + 6 = 17. Verdadeira (V).
b) Aqui subtraíram números diferentes: 7 de um lado e 9 do outro. Fica 13 e 11, que são diferentes. Falsa (F). Correção: 20 − 7 = 20 − 7, isto é, 13 = 13.
c) 15 + 5 = 20 e 10 + 10 = 20. Tirando 4 dos dois lados: 16 = 16. Verdadeira (V).
d) Somar em apenas um membro quebra o equilíbrio, como tirar peso de um prato só da balança. Falsa (F). Correção: se a = b, então a + 100 = b + 100.
9Múltipla escolha
Partindo da igualdade 47 = 47, qual operação mantém a igualdade verdadeira?
Resposta
Alternativa b) 47 − 20 = 47 − 20
Resolução passo a passo
A igualdade só continua verdadeira se fizermos a mesma operação com o mesmo número nos dois membros.
a) Somaram 9 de um lado e 8 do outro: 56 e 55. Diferentes → não serve.
b) Subtraíram 20 dos dois lados: 27 = 27. Serve.
c) Somaram de um lado e subtraíram do outro: 52 e 42. Diferentes → não serve.
d) Subtraíram 0 de um lado e 3 do outro: 47 e 44. Diferentes → não serve.
Resposta: alternativa b.
Princípio de equivalência para a multiplicação e a divisão
10Dissertativo
Observe a tabela abaixo. Os números da 2ª linha são obtidos a partir dos números da 1ª linha sempre da mesma maneira.
a) Qual é o padrão usado? Complete: "Os números da 2ª linha são obtidos ao ____________ os números da 1ª linha por ____." b) Complete os valores que faltam na tabela.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) "Os números da 2ª linha são obtidos ao multiplicar os números da 1ª linha por 7." b) 1ª linha: 2, 3, 5, 7, 9, 20; 2ª linha: 14, 21, 35, 49, 63, 140.
Resolução passo a passo
a) Comparamos as colunas que já estão completas: 2 → 14 e 3 → 21. Como 14 : 2 = 7 e 21 : 3 = 7, o padrão é multiplicar por 7.
b) Agora aplicamos o padrão em cada coluna.
5 · 7 = 35
7 · 7 = 49
Na coluna do 63, precisamos do número da 1ª linha: fazemos a operação inversa, 63 : 7 = 9.
20 · 7 = 140
Tabela completa — 1ª linha: 2, 3, 5, 7, 9, 20; 2ª linha: 14, 21, 35, 49, 63, 140.
11Calcule
Complete as lacunas para que as igualdades permaneçam verdadeiras. a) Partindo de 6 = 6, faz-se 6 · ____ = 6 · ____ e obtém-se 42 = 42. b) Partindo de 64 = 64, faz-se 64 : ____ = 64 : ____ e obtém-se 8 = 8. c) Partindo de 3 · 5 = 15, faz-se 3 · 5 · 4 = 15 · ____ e obtém-se ____ = ____. d) Partindo de 90 : 3 = 30, faz-se 90 : 3 : ____ = 30 : 5 e obtém-se ____ = ____.
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Resposta
a) 7 e 7; b) 8 e 8; c) 4, obtendo 60 = 60; d) 5, obtendo 6 = 6
Resolução passo a passo
O princípio de equivalência também vale na multiplicação e na divisão: multiplicando ou dividindo os dois membros pelo mesmo número (diferente de zero), a igualdade continua verdadeira.
a) Queremos chegar em 42 a partir de 6. Como 42 : 6 = 7, multiplicamos os dois lados por 7: 6 · 7 = 6 · 7 → 42 = 42.
b) Queremos chegar em 8 a partir de 64. Como 64 : 8 = 8, dividimos os dois lados por 8: 64 : 8 = 64 : 8 → 8 = 8.
c) Multiplicaram o 1º membro por 4, então multiplicamos o 2º por 4: 3 · 5 · 4 = 15 · 4 → 60 = 60.
d) Dividiram o 2º membro por 5, então dividimos o 1º por 5: 90 : 3 : 5 = 30 : 5 → 30 : 5 = 6, logo 6 = 6.
12Calcule
Marina brincou de fazer contas de cabeça. Ela começou com o número 3, dobrou o valor, depois triplicou o resultado obtido e, por fim, multiplicou por 5 o número que ficou. a) Escreva a sequência dos resultados: 3 → ____ → ____ → ____ b) Se o resultado final de Marina tivesse sido 300, fazendo as mesmas operações, qual seria o número escolhido no começo?
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Resposta
a) 3 → 6 → 18 → 90; b) o número escolhido seria 10.
c) 8 · 5 · 2 = 80 e 40 : 2 = 20. Diferentes → não serve.
d) 8 · 5 : 5 = 8 e 40 · 5 = 200. Diferentes → não serve.
Resposta: alternativa b.
Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais – relações aditivas
15Calcule
Beatriz e Otávio juntaram dinheiro para comprar um presente de R$ 180,00 para o pai deles. a) Se os dois tivessem dado a mesma quantia, quanto cada um teria colocado? b) Sabendo que Beatriz deu R$ 40,00 a mais que Otávio, quanto cada um contribuiu? c) E se Otávio tivesse dado R$ 60,00 a mais que Beatriz, qual seria a quantia de cada um?
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Resposta
a) R$ 90,00 cada um; b) Beatriz R$ 110,00 e Otávio R$ 70,00; c) Otávio R$ 120,00 e Beatriz R$ 60,00.
Resolução passo a passo
a) Se as quantias fossem iguais, bastaria dividir por 2: 180 : 2 = R$ 90,00 para cada um.
b) Beatriz deu R$ 40,00 a mais. O truque é tirar a diferença do total, para sobrar duas partes iguais.
180 − 40 = 140 → 140 : 2 = 70.
Então Otávio (o que deu menos) colocou R$ 70,00 e Beatriz colocou 70 + 40 = R$ 110,00. Conferindo: 110 + 70 = 180 e a diferença é 40.
c) Agora quem deu R$ 60,00 a mais é Otávio. Fazemos o mesmo: 180 − 60 = 120 → 120 : 2 = 60.
Beatriz ficaria com R$ 60,00 e Otávio com 60 + 60 = R$ 120,00. Conferindo: 60 + 120 = 180.
16Calcule
A diferença entre as idades das irmãs Helena e Nina é de 7 anos, e a soma das idades é 45 anos. Qual é a idade de cada uma, sabendo que Helena é a mais velha?
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Resposta
Helena tem 26 anos e Nina tem 19 anos.
Resolução passo a passo
Sabemos a soma (45) e a diferença (7) das idades.
Passo 1: tiramos a diferença da soma, para ficar como se as duas tivessem a mesma idade: 45 − 7 = 38.
Passo 2: dividimos por 2: 38 : 2 = 19. Essa é a idade da mais nova, Nina.
Passo 3: a mais velha tem 7 anos a mais: 19 + 7 = 26. Essa é a idade de Helena.
Os alunos de duas turmas arrecadaram 800 tampinhas para uma decoração. A turma A fará arranjos com 20 tampinhas cada e a turma B, arranjos com 60 tampinhas cada. As duas turmas farão a mesma quantidade de arranjos. Quantas tampinhas cada turma deve receber?
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Resposta
A turma A recebe 200 tampinhas e a turma B recebe 600 tampinhas (cada turma faz 10 arranjos).
Resolução passo a passo
Chamamos de n a quantidade de arranjos que cada turma vai fazer (é a mesma para as duas).
A turma A gasta 20 tampinhas por arranjo: usa 20 · n. A turma B gasta 60 por arranjo: usa 60 · n.
Juntas usam 800 tampinhas:
20 · n + 60 · n = 800 → 80 · n = 800.
Dividimos os dois membros por 80: n = 10 arranjos para cada turma.
Agora calculamos as tampinhas: turma A → 20 · 10 = 200; turma B → 60 · 10 = 600.
Conferindo: 200 + 600 = 800. ✓
18Múltipla escolha
Dois amigos dividiram 90 figurinhas de modo que um ficou com 10 a mais que o outro. Quantas figurinhas ficaram com cada um?
Resposta
Alternativa a) 40 e 50
Resolução passo a passo
Soma 90 e diferença 10.
Passo 1: 90 − 10 = 80.
Passo 2: 80 : 2 = 40 → o que ficou com menos tem 40 figurinhas.
Passo 3: 40 + 10 = 50 → o outro ficou com 50.
Conferindo: 40 + 50 = 90 e 50 − 40 = 10. As demais alternativas não têm diferença 10 (b tem 0, c tem 20, d tem 30). Resposta: a.
Partilha de uma quantidade em duas partes desiguais – relações multiplicativas
19Calcule
Três ciclistas fizeram um passeio de 90 km e cada um parou para descansar em um ponto diferente do caminho. • Ciclista 1: parou na metade do caminho. • Ciclista 2: parou faltando um terço do percurso para chegar ao fim. • Ciclista 3: parou quando a distância já percorrida era a metade da distância que ainda faltava.
Determine, para cada ciclista, quantos quilômetros ele já tinha percorrido e quantos ainda faltavam no momento da parada.
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Resposta
Ciclista 1: 45 km percorridos e 45 km faltando. Ciclista 2: 60 km percorridos e 30 km faltando. Ciclista 3: 30 km percorridos e 60 km faltando.
Resolução passo a passo
O percurso todo tem 90 km. Em cada caso, o que foi percorrido mais o que falta deve dar 90.
Ciclista 1 — parou na metade: 90 : 2 = 45. Percorreu 45 km e faltavam 45 km.
Ciclista 2 — faltava um terço do percurso: 90 : 3 = 30. Faltavam 30 km, então já tinha percorrido 90 − 30 = 60 km.
Ciclista 3 — o percorrido era a metade do que faltava. Pensando em partes iguais: o percorrido vale 1 parte e o que falta vale 2 partes, somando 3 partes.
90 : 3 = 30 → cada parte vale 30 km.
Percorrido = 1 parte = 30 km; faltando = 2 partes = 60 km. Conferindo: 30 + 60 = 90 e 30 é a metade de 60. ✓
20Calcule
Uma caixa tem 36 bombons. Kauê separou uma quantidade para o irmão e o dobro dessa quantidade para os primos, usando todos os bombons. Quantos bombons foram para os primos?
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Resposta
Foram 24 bombons para os primos (e 12 para o irmão).
Resolução passo a passo
Chamamos de x a quantidade que foi para o irmão. Os primos receberam o dobro, ou seja, 2 · x.
Como todos os 36 bombons foram usados:
x + 2 · x = 36 → 3 · x = 36.
Dividimos os dois membros por 3: x = 12.
Então o irmão recebeu 12 bombons e os primos receberam 2 · 12 = 24 bombons.
Conferindo: 12 + 24 = 36. ✓
21Múltipla escolha
Em uma turma há 45 alunos. O número de meninas é o dobro do número de meninos. Quantas meninas e quantos meninos há nessa turma?
Resposta
Alternativa b) 30 meninas e 15 meninos
Resolução passo a passo
Chamamos o número de meninos de m. O número de meninas é o dobro: 2 · m.
Juntos são 45 alunos: m + 2 · m = 45 → 3 · m = 45.
Dividindo os dois membros por 3: m = 15 meninos.
Meninas: 2 · 15 = 30.
Conferindo: 15 + 30 = 45 e 30 é o dobro de 15. Resposta: alternativa b.
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