Capítulo 6 – Ângulos e retas (Matemática – 6º ano)
Resumo completo
Capítulo 6 – Ângulos e retas (Matemática – 6º ano)
Resumo completo
1Abertura: A geometria de Barcelona
A cidade de Barcelona, na Espanha, quando vista de cima, parece um tabuleiro. As ruas se cruzam formando quadras bem certinhas, como uma malha quadriculada.
Esse desenho não aconteceu por acaso. No século XIX, o engenheiro Ildefons Cerdà (1815-1876) planejou a cidade usando ideias da Geometria: ruas largas, esquinas abertas e cruzamentos em ângulo reto.
O objetivo dele era melhorar a ventilação, a iluminação e a circulação das pessoas. Isso mostra que a Matemática ajuda a resolver problemas reais do lugar onde vivemos.
Neste capítulo você vai estudar os elementos básicos da Geometria (ponto, reta e plano), os ângulos e as posições entre retas.
Exemplos
Nas ruas de Barcelona, dois cruzamentos formam ângulos de 90°, ou seja, ângulos retos.
A Torre Eiffel, em Paris, usa muitos triângulos porque essa forma deixa a estrutura firme e segura.
2Elementos fundamentais da Geometria
Para começar a estudar Geometria, você precisa conhecer três ideias básicas: o ponto, a reta e o plano.
Esses três são chamados de conceitos primitivos. Isso quer dizer que eles não têm definição: a gente só imagina o que eles são e compara com objetos do dia a dia.
Uma boa forma de entender é olhar em volta. A ponta de um alfinete lembra um ponto, um fio esticado lembra uma reta e o piso da sala lembra um plano.
Exemplos
Ponto: uma estrela vista no céu, o furo de uma agulha no tecido, um local marcado no mapa.
Reta: os fios de energia esticados, a linha do horizonte, o lado de uma moldura.
Plano: o piso da sala de aula, a face de cima da carteira, o campo de futebol, as águas paradas de um lago.
Comparando ponto, reta e plano
Elemento
Quantas dimensões
Como se representa
Exemplo do dia a dia
Ponto
Nenhuma (não tem comprimento, largura nem altura)
Letra MAIÚSCULA: A, B, C, D
Estrela no céu
Reta
Uma (só comprimento, e é infinito)
Letra minúscula: r, s, t ou símbolo sobre dois pontos (AB com seta dupla)
Fio de energia esticado
Plano
Duas (é infinito também)
Letra grega minúscula: α (alfa), β (beta), γ (gama)
Campo de futebol
2.1Ponto
Na Geometria, o ponto não tem tamanho nenhum. Ele não tem comprimento, nem largura, nem altura.
A gente indica o ponto usando uma letra maiúscula do alfabeto, como A, B, C ou D.
Quando desenhamos um pontinho no caderno, ele é só uma marca para representar essa ideia.
Exemplos
Marcamos o ponto A no papel e escrevemos a letra A ao lado da marquinha.
As estrelas no céu, vistas de longe, dão a ideia de vários pontos.
2.2Reta
A reta tem apenas uma dimensão: o comprimento. E esse comprimento é infinito, ou seja, ela nunca acaba, nem para um lado nem para o outro.
Por isso desenhamos setinhas nas duas pontas da reta. As setas mostram que ela continua sem fim.
Podemos nomear a reta com letra minúscula (r, s, t) ou usando dois pontos dela com o símbolo de reta em cima, como AB.
Exemplos
A reta que passa pelos pontos A e B pode ser chamada de reta AB ou de reta r.
As ruas retas de uma cidade e os fios de energia dão a ideia de reta.
2.3Plano
O plano é como uma superfície lisa que se estende para sempre. Ele também é infinito, mas tem duas dimensões (comprimento e largura).
Para nomear um plano usamos letras do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), γ (gama).
Um plano guarda dentro dele infinitos pontos e infinitas retas.
Exemplos
Um campo de futebol visto de cima dá a ideia de plano.
A vista aérea de uma piscina também lembra um plano.
2.4Símbolos: pertence e está contido
Quando um ponto está dentro de uma reta ou de um plano, dizemos que ele pertence a ela. O símbolo usado é ∈. Se não estiver, usamos ∉ (não pertence).
Quando uma reta está dentro de um plano, dizemos que ela está contida nele. O símbolo é ⊂.
Uma dica fácil: ponto pertence (∈); reta está contida (⊂).
📐 Para guardar
A ∈ α → o ponto A pertence ao plano α
A ∉ r → o ponto A não pertence à reta r
r ⊂ β → a reta r está contida no plano β
Exemplos
Se o ponto B está desenhado em cima da reta r, escrevemos B ∈ r.
Se o ponto H está no plano α, mas fora da reta s, escrevemos H ∈ α e H ∉ s.
Se a reta s foi desenhada dentro do plano α, escrevemos s ⊂ α.
Símbolos usados na Geometria
Símbolo
Lê-se
Usa-se entre
∈
pertence a
ponto e reta / ponto e plano
∉
não pertence a
ponto e reta / ponto e plano
⊂
está contida em
reta e plano
2.5Pontos colineares, pontos coplanares e retas coplanares
Quando dois ou mais pontos estão na mesma reta, eles são chamados de pontos colineares. É só lembrar: co (junto) + lineares (na linha).
Quando dois ou mais pontos estão no mesmo plano, eles são pontos coplanares.
E quando duas ou mais retas estão dentro do mesmo plano, elas são retas coplanares.
Exemplos
Na reta r estão marcados M, N e P: então M, N e P são pontos colineares.
Os pontos A, B, C e D desenhados dentro do plano β são coplanares, mesmo que não estejam na mesma reta.
Duas retas desenhadas na mesma folha (mesmo plano) são retas coplanares.
3Reta, semirreta e segmento de reta
A partir de uma reta podemos formar duas figuras novas: a semirreta e o segmento de reta.
A diferença entre elas está no começo e no fim. A reta não tem começo nem fim; a semirreta tem começo, mas não tem fim; o segmento tem começo e fim.
Preste atenção nos símbolos desenhados em cima das letras, porque eles mudam o significado.
Reta × semirreta × segmento
Figura
Tem início?
Tem fim?
Símbolo
Como se lê
Reta AB
Não
Não
AB com seta dupla (↔)
reta AB (infinita nos dois sentidos)
Semirreta AB
Sim (no ponto A)
Não
AB com seta simples (→)
semirreta de origem A que passa por B
Segmento AB
Sim (em A)
Sim (em B)
AB com barrinha em cima
segmento de extremidades A e B
3.1Determinação de uma reta
Por dois pontos distintos passa uma única reta. Ou seja, se você marca dois pontos e liga com a régua, só existe uma reta possível.
Essa reta pode receber dois nomes: pelos pontos (reta AB) ou por uma letra minúscula (reta r).
Exemplos
Marque os pontos A e B no papel, coloque a régua e trace: você obteve a reta AB, também chamada de reta r. Não existe outra reta diferente passando por esses dois pontos.
3.2Semirreta
A semirreta é o pedaço da reta que começa em um ponto e segue para sempre em um só sentido.
O ponto onde ela começa chama-se origem. A ordem das letras importa muito: a primeira letra é sempre a origem.
Assim, a semirreta AB tem origem em A e passa por B. Já a semirreta BA tem origem em B e passa por A. São semirretas diferentes!
📐 Para guardar
Semirreta AB (→): origem em A, passa por B
Semirreta BA (→): origem em B, passa por A
Exemplos
Em uma reta r estão os pontos A e B. Se eu apagar tudo que está antes de A, sobra a semirreta AB.
Um raio de sol saindo do Sol dá a ideia de semirreta: tem começo, mas segue muito longe.
3.3Segmento de reta
O segmento de reta é o pedaço da reta que tem começo e fim. Ele é limitado por dois pontos, chamados de extremidades.
Escrevemos com uma barrinha em cima: AB. A reta onde o segmento está desenhado recebe o nome de reta suporte.
Diferente da reta e da semirreta, o segmento é finito. Por isso podemos medir seu comprimento com a régua.
Exemplos
Na reta r estão os pontos A e B. O pedaço que vai de A até B é o segmento AB. A reta r é a reta suporte desse segmento.
Em uma reta com os pontos M, N e P, os segmentos possíveis são: MN, MP e NP (3 segmentos).
3.4Exemplo resolvido: contando semirretas e segmentos
Vamos usar uma reta r com três pontos: M, N e P, nessa ordem.
Passo 1 – semirretas: cada ponto pode ser origem de duas semirretas (uma para cada lado). Como são 3 pontos, temos 3 × 2 = 6 semirretas.
Passo 2 – segmentos: juntamos os pontos dois a dois: MN, MP e NP. Logo, são 3 segmentos.
Exemplos
Semirretas com origem em M: MN (para a direita) e a semirreta oposta (para a esquerda). Fazendo isso com N e P, chegamos a 6 semirretas no total.
Segmentos determinados por M, N e P: MN, NP e MP → 3 segmentos.
4Segmentos colineares, consecutivos e adjacentes
Dois segmentos podem ficar em posições diferentes um em relação ao outro. Para organizar isso, damos nomes: colineares, consecutivos e adjacentes.
A dica é olhar duas coisas: (1) eles estão na mesma reta? (2) eles têm um ponto de ponta em comum?
Quando as duas respostas são sim e eles não se sobrepõem, os segmentos são adjacentes.
Como classificar dois segmentos
Classificação
Estão na mesma reta?
Têm extremidade comum?
Observação
Colineares
Sim
Não é necessário
Basta terem a mesma reta suporte
Consecutivos
Não é necessário
Sim
Compartilham um ponto de ponta
Adjacentes
Sim
Sim
Só a extremidade em comum, sem pontos internos comuns
4.1Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares quando estão na mesma reta suporte, ou seja, foram desenhados sobre a mesma reta.
Eles não precisam se tocar. Basta estarem na mesma linha.
Exemplos
Na reta r estão os pontos A, B, C e D. Os segmentos AB e BC são colineares. Os segmentos AB e CD também são colineares, mesmo sem se tocarem.
4.2Segmentos consecutivos
Dois segmentos são consecutivos quando têm uma extremidade comum, isto é, uma ponta igual.
Eles podem estar em retas diferentes, formando um "bico" ou um caminho quebrado.
Exemplos
Em uma linha quebrada A–B–C–D–E: AB e BC são consecutivos (ponto comum B); BC e CD são consecutivos (ponto comum C); CD e DE são consecutivos (ponto comum D).
4.3Segmentos adjacentes
Dois segmentos são adjacentes quando são consecutivos e colineares ao mesmo tempo, tendo em comum apenas a extremidade.
Se eles tiverem pontos por dentro em comum (um em cima do outro), não são adjacentes.
Exemplos
Na reta r com A, B e C nessa ordem: AB e BC são adjacentes, pois estão na mesma reta e só o ponto B é comum.
Na reta s com B, C e D nessa ordem: BD e CD NÃO são adjacentes. Eles são colineares e consecutivos (ponto D em comum), mas o pedaço de C até D está nos dois segmentos.
5+ATITUDE: Protagonismo e o código Morse
Hoje mandamos mensagens em segundos pelo celular. Mas no século XIX isso demorava dias, porque dependia do correio.
Pensando nisso, o inventor Samuel Morse criou um código com pontos e traços. O telégrafo transformava esses símbolos em sinais elétricos que viajavam por um fio até o destino.
Repare que os símbolos são exatamente elementos que estudamos: o ponto (tom curto) e o traço, que é um segmento de reta (tom longo).
Essa história mostra o valor do protagonismo: agir e transformar o próprio caminho, como Morse fez.
Exemplos
A frase EU TE AMO em código Morse: E = · U = ··– / T = – E = · / A = ·– M = –– O = –––
Os espaços maiores separam letras e as barras (/) separam palavras.
Algumas letras e números em código Morse
Letra
Código
Número
Código
A
·–
1
·––––
E
·
2
··–––
M
––
3
···––
O
–––
5
·····
S
···
9
––––·
T
–
0
–––––
6Medida de um segmento e segmentos congruentes
Medir um segmento é descobrir o seu comprimento. Para isso, comparamos esse segmento com outro que escolhemos como unidade de medida.
Por exemplo: se o segmento MN cabe 4 vezes dentro do segmento AB, dizemos que AB mede 4 unidades MN.
Usamos o compasso para "transportar" a medida da unidade e ver quantas vezes ela cabe.
📐 Para guardar
med(AB) = 4 · med(MN) ou AB = 4 · MN
Exemplos
Abrimos o compasso do tamanho de MN e marcamos essa abertura sobre AB. Se ela couber exatamente 4 vezes, então AB = 4 · MN.
Se o segmento CD mede 3u e o segmento RS também mede 3u, eles têm o mesmo comprimento.
6.1Segmentos congruentes
Dois segmentos são congruentes quando têm o mesmo comprimento, ou seja, medidas iguais.
Não importa a posição deles no papel: se a medida é a mesma, eles são congruentes.
📐 Para guardar
Se med(CD) = med(RS), então CD e RS são congruentes.
Exemplos
med(CD) = 3u e med(RS) = 3u → CD e RS são congruentes.
Dois lápis novos do mesmo modelo dão a ideia de segmentos congruentes.
6.2INVESTIGUE! Quando os olhos enganam
Existem desenhos que enganam nossos olhos. Dois segmentos podem parecer de tamanhos diferentes e, na verdade, ter a mesma medida.
Isso acontece por causa das figuras desenhadas nas pontas (setas, bolinhas, linhas cruzadas). Elas confundem o cérebro.
Por isso, na Matemática não confiamos só no olhar: usamos a régua para conferir.
Exemplos
Na ilusão clássica, o segmento AB (com setas para fora) parece menor que o CD (com setas para dentro), mas medindo com a régua os dois têm o mesmo comprimento.
7Ângulo
O ângulo é a figura formada por duas semirretas que têm a mesma origem. Pense na abertura de uma tesoura ou de uma porta.
O ponto onde as duas semirretas começam é o vértice. As semirretas são os lados do ângulo.
Podemos dar nome ao ângulo de duas formas: com três letras (a do meio é sempre o vértice), como AÔB, ou com uma letra grega, como α, β, γ.
📐 Para guardar
AÔB → A é um ponto do lado OA, O é o vértice, B é um ponto do lado OB
AÔB = BÔA (é o mesmo ângulo, lido ao contrário)
Exemplos
No ângulo AÔB, o vértice é o ponto O e os lados são as semirretas OA e OB.
Podemos escrever med(AÔB) = 60° ou simplesmente α = 60°.
Elementos de um ângulo
Elemento
O que é
Vértice
Ponto de origem comum das duas semirretas
Lados
As duas semirretas que formam a abertura
Medida
O tamanho da abertura, dado em graus (°)
7.1Transferidor
O transferidor é o instrumento que usamos para medir ângulos. Existem dois tipos: um dividido em 180 partes (meia-lua) e outro em 360 partes (círculo completo).
Cada parte dessa divisão vale 1 grau, escrito com o símbolo °. O grau é a unidade-padrão para medir ângulos.
Uma circunferência inteira tem 360°, então 1° é a 360ª parte da circunferência (1/360).
📐 Para guardar
1 circunferência = 360°
1° = 1/360 da circunferência
Partes do transferidor
Parte
O que é
Limbo
Arco onde ficam marcados os números da escala em graus
Linha de fé
Segmento de reta que passa pelas marcas de 0° e 180°
Centro
Ponto que divide a linha de fé ao meio
7.2Como medir um ângulo com o transferidor
Medir ângulo é simples, basta seguir a ordem certa.
1º) Coloque o centro do transferidor exatamente em cima do vértice do ângulo.
2º) Faça a linha de fé (o zero) coincidir com um dos lados do ângulo.
3º) Veja em qual número do limbo o outro lado passa. Esse número é a medida do ângulo.
Exemplos
Se o lado OB fica sobre o zero e o lado OA passa pelo 60, então med(AÔB) = 60°.
Se o outro lado passa pelo 90, temos med(MÔN) = 90°.
Se o outro lado passa pelo 150, temos med(PÔQ) = 150°.
8Classificação dos ângulos
Os ângulos recebem nomes diferentes de acordo com a sua medida em graus.
O ângulo mais importante é o de 90°, chamado de ângulo reto. Ele serve de referência: os menores que ele são agudos e os maiores (até 180°) são obtusos.
Guarde bem esta tabela, porque ela cai muito em prova!
Exemplos
Um ângulo de 45° é agudo, pois 45° é menor que 90°.
Um ângulo de 120° é obtuso, pois está entre 90° e 180°.
O ângulo formado pelas duas páginas de um livro bem aberto pode ser raso (180°).
Classificação dos ângulos pela medida
Nome
Medida
Como reconhecer
Ângulo nulo
0°
Os lados ficam um sobre o outro: não há abertura
Ângulo agudo
maior que 0° e menor que 90°
Abertura "apertadinha", menor que o canto de uma folha
Ângulo reto
exatamente 90°
É o cantinho de uma folha; indicado pelo símbolo de quadradinho
Ângulo obtuso
maior que 90° e menor que 180°
Abertura larga, mas ainda não é uma linha reta
Ângulo raso
exatamente 180°
Os dois lados formam uma linha reta (meia-volta)
Ângulo de uma volta
360°
Abertura completa: a semirreta dá a volta e volta ao lugar
8.1Ângulo reto
O ângulo que mede 90° é o ângulo reto. Ele é indicado por um quadradinho com um pontinho dentro.
O ângulo reto corresponde a 1/4 da circunferência (um quarto de volta), porque 360° ÷ 4 = 90°.
Ele aparece em muitos objetos: os cantos de uma folha, de uma caixa, de uma janela ou de uma tabela de basquete.
📐 Para guardar
Ângulo reto = 90° = 1/4 da circunferência
360° ÷ 4 = 90°
Exemplos
Os quatro cantos de um retângulo são ângulos retos.
Um esquadro de carpinteiro forma um ângulo reto.
8.2Ângulo nulo, agudo e obtuso
O ângulo nulo mede 0°. Os dois lados estão em cima um do outro, então não existe abertura.
O ângulo agudo é maior que 0° e menor que 90°. É a abertura pequena.
O ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°. É a abertura grande, mas que ainda não virou uma reta.
📐 Para guardar
Nulo: α = 0°
Agudo: 0° < α < 90°
Obtuso: 90° < α < 180°
Exemplos
30°, 45° e 89° são ângulos agudos.
91°, 120° e 179° são ângulos obtusos.
8.3Ângulo raso e ângulo de uma volta
O ângulo raso mede 180°. Ele é formado por duas semirretas opostas que saem da mesma origem, formando uma linha reta. Também é chamado de ângulo de meia-volta.
O ângulo de uma volta mede 360°. Nele, a semirreta gira e volta ao ponto de partida (OA coincide com OB).
Atenção: o ângulo de uma volta e o ângulo nulo parecem iguais no desenho. A diferença é que o nulo é a falta de abertura e o de uma volta é a abertura completa.
📐 Para guardar
Raso = 180° (meia-volta)
Uma volta = 360°
Exemplos
Um livro aberto totalmente sobre a mesa forma um ângulo raso.
Um skatista que gira 360° volta olhando para o mesmo lado do começo.
9Ângulos em figuras geométricas
Quando medimos com o transferidor os ângulos internos de figuras, descobrimos regras muito úteis.
Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é sempre 180°.
Em qualquer quadrilátero (figura de 4 lados), a soma dos quatro ângulos internos é sempre 360°.
Essas somas valem para todos os triângulos e quadriláteros, não importa o formato.
📐 Para guardar
Triângulo: â + b̂ + ĉ = 180°
Quadrilátero: â + b̂ + ĉ + d̂ = 360°
Exemplos
Um triângulo tem ângulos de 90°, 60° e um desconhecido. Como a soma é 180°, fazemos 180° − 90° − 60° = 30°. O terceiro ângulo mede 30°.
Um quadrilátero tem ângulos de 100°, 80° e 90°. O quarto é 360° − 100° − 80° − 90° = 90°.
Um triângulo NÃO pode ter dois ângulos retos, pois 90° + 90° = 180° e não sobraria nada para o terceiro ângulo.
Um triângulo NÃO pode ter dois ângulos obtusos, pois cada um passaria de 90° e a soma já ultrapassaria 180°.
Polígono é uma figura plana fechada, formada por segmentos de reta que não estão na mesma linha. Esses segmentos são os lados do polígono.
Cada lado encosta nas pontas de exatamente outros dois lados, fechando a figura.
O ângulo interno é o ângulo formado por dois lados do polígono, do lado de dentro da figura.
Exemplos
O triângulo, o quadrado, o retângulo e o decágono (10 lados) são polígonos.
No retângulo MNOP, o ângulo interno MP̂O é reto (90°).
10Posições relativas entre duas retas
Duas retas podem ficar de vários jeitos, uma em relação à outra. Para saber a posição, perguntamos: elas estão no mesmo plano? Quantos pontos elas têm em comum?
Se estão no mesmo plano, chamamos de retas coplanares. A partir daí, elas podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes.
As retas concorrentes que formam ângulo de 90° ganham um nome especial: perpendiculares.
Posições relativas entre duas retas coplanares
Posição
Pontos em comum
Símbolo
Lê-se
Exemplo do dia a dia
Paralelas
Nenhum
r // s
r é paralela a s
Cordas de um baixo; trilhos de trem
Coincidentes
Todos
r = s
r coincide com s
Uma reta desenhada exatamente em cima da outra
Concorrentes
Apenas um
r × s
r é concorrente a s
Lâminas de uma tesoura semiaberta
Perpendiculares (caso especial de concorrentes)
Apenas um, formando 90°
r ⊥ s
r é perpendicular a s
Linhas da bandeira da Finlândia; cruzamento de ruas
10.1Retas coplanares
Duas ou mais retas são coplanares quando estão no mesmo plano.
Se uma reta está em um plano e a outra em outro plano diferente, elas não são coplanares.
Podemos observar isso em um cubo: cada face é um plano diferente.
Exemplos
No cubo, as retas r e s pertencem ao plano γ (face de cima): são coplanares.
As retas t e r não são coplanares, pois t está no plano α e r está no plano γ.
10.2Retas paralelas
Duas retas coplanares são paralelas quando ficam sempre à mesma distância uma da outra e nunca se encontram.
Como nunca se cruzam, elas não têm nenhum ponto em comum.
Usamos o símbolo // para indicar paralelismo.
📐 Para guardar
r // s → lê-se "r é paralela a s"
Exemplos
Os trilhos de um trem dão a ideia de retas paralelas.
As cordas de um baixo esticadas também são paralelas.
10.3Retas coincidentes
Duas retas coplanares são coincidentes quando têm todos os pontos em comum, ou seja, uma está exatamente em cima da outra.
Na prática, é como se fossem a mesma reta com dois nomes.
Usamos o sinal de igual: r = s.
📐 Para guardar
r = s → lê-se "r coincide com s"
Exemplos
Se eu traço a reta r e depois desenho a reta s exatamente em cima dela, então r = s.
10.4Retas concorrentes e retas perpendiculares
Duas retas coplanares são concorrentes quando têm apenas um ponto em comum. Esse ponto é chamado de ponto de interseção.
Quando duas retas concorrentes formam entre si um ângulo reto (90°), elas recebem o nome de retas perpendiculares.
Toda reta perpendicular é concorrente, mas nem toda concorrente é perpendicular.
📐 Para guardar
r × s → "r é concorrente a s"
r ⊥ s → "r é perpendicular a s"
Exemplos
Duas retas que se cruzam no ponto P formando 40° são concorrentes, mas não perpendiculares.
As linhas da bandeira da Finlândia se cruzam formando 90°: são perpendiculares.
As lâminas de uma tesoura semiaberta dão ideia de retas concorrentes.
11Construções geométricas: retas paralelas e perpendiculares com esquadros
O jogo de esquadros é formado por dois esquadros: um de 45° e outro de 60°. Com eles conseguimos traçar retas paralelas e perpendiculares com precisão.
A ideia é sempre a mesma: um esquadro fica fixo (parado) servindo de trilho, e o outro desliza sobre ele.
Siga os passos com calma e segure firme o esquadro fixo para não sair do lugar.
Passo a passo: traçar retas PERPENDICULARES
Passo
O que fazer
1º
Trace uma reta m
2º
Encoste a borda maior do esquadro de 45° sobre a reta m
3º
Encoste a borda maior do esquadro de 60° no esquadro de 45° (o de 60° fica fixo)
4º
Marque o ponto P fora da reta m e gire o esquadro de 45°, apoiado no fixo
5º
Deslize o esquadro de 45° até o ponto P e trace a reta n, perpendicular a m
Passo a passo: traçar retas PARALELAS
Passo
O que fazer
1º
Trace uma reta m
2º
Encoste a borda maior do esquadro de 45° sobre a reta m
3º
Encoste a borda maior do esquadro de 60° no esquadro de 45° e segure firme o de 60°
4º
Deslize o esquadro de 45° sobre o fixo e trace a reta n, paralela a m
12Exercícios comentados (Explore seus conhecimentos e Mergulhando fundo)
Aqui estão alguns tipos de questões que aparecem no final do capítulo, com a explicação de como pensar em cada uma.
Leia com atenção o que a questão pede: classificar, medir ou construir. Sempre que precisar medir, use o transferidor; para desenhar retas paralelas ou perpendiculares, use os esquadros.
📐 Para guardar
Giro do ponteiro das horas em 1 hora: 360° ÷ 12 = 30°
Giro do ponteiro dos minutos em 1 minuto: 360° ÷ 60 = 6°
Exemplos
Relacionar conceitos: uma tela de cinema → plano; um fio esticado nos dois sentidos → reta; a ponta de um alfinete → ponto; um fio entre dois postes → segmento de reta.
Relógio (a): em 1 hora o ponteiro das horas anda 1/12 da volta → 360° ÷ 12 = 30°.
Relógio (b): em 1 hora (60 min) ele anda 30°; em 2 minutos anda 30° ÷ 30 = 1°.
Relógio (c): o ponteiro dos minutos anda 6° por minuto; em 29 minutos → 6° × 29 = 174°. Como 174° está entre 90° e 180°, é um ângulo OBTUSO.
Norma do Inmetro: o encosto do banco de ônibus deve formar um ângulo α entre 105° e 115° com o assento. Entre as opções dadas (50°, 60°, 70°, 80°, 90° marcados do outro lado), escolhe-se aquela em que α, medido com o transferidor, fica nesse intervalo.
Decágono regular: seus 10 ângulos internos são iguais e medem 144°. Como 144° é maior que 90° e menor que 180°, o ângulo α é obtuso.
Ângulos do relógio – resumo
Ponteiro
Tempo
Giro em graus
Horas
1 hora
30°
Horas
2 minutos
1°
Minutos
1 minuto
6°
Minutos
29 minutos
174° (obtuso)
Minutos
60 minutos
360° (uma volta)
13Neste capítulo, você estudou:
Vamos recordar tudo o que foi visto, para você revisar antes da prova.
Se algum item da lista parecer estranho, volte na seção correspondente e leia de novo com calma.
Resumo final do capítulo
Tema
Pontos-chave
Elementos fundamentais
Ponto (sem dimensão), reta (1 dimensão, infinita) e plano (2 dimensões, infinito); símbolos ∈, ∉ e ⊂
Semirretas e segmentos
Semirreta tem origem e é infinita num sentido; segmento tem começo e fim; colineares, consecutivos e adjacentes
Medida de segmentos
Comparar com uma unidade; segmentos congruentes têm medidas iguais
Ângulo
Duas semirretas de mesma origem; vértice e lados; medido em graus com o transferidor
Classificação dos ângulos
Nulo (0°), agudo (<90°), reto (90°), obtuso (entre 90° e 180°), raso (180°), uma volta (360°)
Ângulos em figuras
Triângulo: soma 180°; quadrilátero: soma 360°
Posições entre retas
Coplanares, paralelas (//), coincidentes (=), concorrentes (×) e perpendiculares (⊥)
Construções
Traçar paralelas e perpendiculares com o jogo de esquadros
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Elementos fundamentais da Geometria: ponto, reta e plano
1Dissertativo
Na Geometria, ponto, reta e plano são conceitos primitivos: nós os imaginamos, mas não os definimos. Relacione cada conceito ao exemplo do dia a dia.
( 1 ) Ponto ( 2 ) Reta ( 3 ) Plano
( ) A superfície lisa de uma mesa. ( ) O rastro deixado por um avião no céu, bem esticado. ( ) A cabeça de um alfinete. ( ) A quadra de vôlei vista de cima. ( ) Um fio de varal bem esticado entre dois postes. ( ) Uma estrela vista da Terra.
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Resposta
( 3 ) A superfície lisa de uma mesa. ( 2 ) O rastro deixado por um avião no céu, bem esticado. ( 1 ) A cabeça de um alfinete. ( 3 ) A quadra de vôlei vista de cima. ( 2 ) Um fio de varal bem esticado entre dois postes. ( 1 ) Uma estrela vista da Terra.
Resolução passo a passo
Primeiro, lembre o que cada elemento faz você imaginar. O ponto não tem tamanho nenhum: ele só marca um lugar. A reta faz pensar em algo bem esticado, fino e sem fim. O plano faz pensar em uma superfície lisa e sem espessura, como um chão que continua para todos os lados.
Agora é só comparar cada exemplo. A superfície lisa de uma mesa é bem plana, então dá ideia de plano (3). O rastro do avião e o fio de varal esticado são finos e compridos: dão ideia de reta (2).
A cabeça de um alfinete e uma estrela vista da Terra aparecem como pontinhos, sem tamanho: dão ideia de ponto (1). A quadra de vôlei vista de cima é uma superfície plana: dá ideia de plano (3).
Um cuidado importante: esses são só exemplos do dia a dia. Na Geometria, ponto, reta e plano são conceitos primitivos, ou seja, nós imaginamos, mas não definimos.
2Múltipla escolha
Assinale a alternativa correta sobre os elementos fundamentais da Geometria.
Resposta
Alternativa b) A reta tem apenas uma dimensão: o comprimento, que é infinito.
Resolução passo a passo
Vamos analisar cada alternativa com calma.
A letra a está errada, porque o ponto não tem dimensão alguma: não tem comprimento, nem largura, nem espessura.
A letra b está certa. A reta tem só uma dimensão, o comprimento, e ela é infinita: não começa e não termina.
A letra c está errada, pois o plano tem duas dimensões (comprimento e largura) e é ilimitado, ou seja, continua sem fim. A letra d também está errada: retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t) e os pontos por letras maiúsculas (A, B).
3Verdadeiro ou falso
Classifique as afirmações em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)Uma reta tem um ponto inicial e um ponto final.
b)Por dois pontos distintos passa uma única reta.
c)O plano é representado por uma letra do alfabeto grego, como α, β ou γ.
d)Entre dois pontos de uma reta sempre existe outro ponto.
e)Um plano é formado por uma quantidade finita de retas.
Resposta
a) F b) V c) V d) V e) F
Resolução passo a passo
a) Falso. A reta é infinita nos dois sentidos, então ela não tem ponto inicial nem ponto final. Quem tem começo e fim é o segmento de reta.
b) Verdadeiro. Por dois pontos diferentes passa uma única reta. Faça o teste: marque dois pontinhos no papel e tente traçar duas retas diferentes por eles — não dá.
c) Verdadeiro. Costumamos nomear os planos com letras gregas: α (alfa), β (beta), γ (gama).
d) Verdadeiro. Entre dois pontos de uma reta sempre cabe outro ponto; a reta é formada por infinitos pontos.
e) Falso. O plano contém uma quantidade infinita de retas, e não uma quantidade finita.
4Dissertativo
Observe a descrição: no plano α existe a reta m. O ponto P está sobre a reta m e o ponto Q está no plano α, mas fora da reta m. Complete usando os símbolos ∈ (pertence), ∉ (não pertence) ou ⊂ (está contido).
a) P ____ m b) Q ____ m c) m ____ α d) P ____ α e) Q ____ α
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Resposta
a) P ∈ m b) Q ∉ m c) m ⊂ α d) P ∈ α e) Q ∈ α
Resolução passo a passo
Primeiro entenda os símbolos. Usamos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) para ligar um ponto a uma reta ou a um plano. Usamos ⊂ (está contido) para ligar uma reta a um plano.
a) O ponto P está sobre a reta m, então P pertence a m: P ∈ m.
b) O ponto Q está fora da reta m, então Q não pertence a m: Q ∉ m.
c) A reta m está desenhada dentro do plano α. Como m é uma reta (e não um ponto), escrevemos m ⊂ α.
d) e e) Tanto P quanto Q estão no plano α (P está na reta, que está no plano; Q está no plano, só que fora da reta). Logo, P ∈ α e Q ∈ α.
5Dissertativo
Explique com suas palavras a diferença entre pontos colineares e pontos coplanares. Depois, responda: três pontos que estão sobre uma mesma reta também são coplanares? Justifique.
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Resposta
Pontos colineares são pontos que estão sobre uma mesma reta. Pontos coplanares são pontos que estão sobre um mesmo plano. Sim: três pontos que estão numa mesma reta também são coplanares, porque toda reta está contida em um plano — logo, os pontos dela também estão nesse plano.
Resolução passo a passo
Comece pelas palavras. Co quer dizer junto. Então colineares é juntos na mesma linha (reta) e coplanares é juntos no mesmo plano.
Exemplo de colineares: três formiguinhas andando em fila sobre um fio de varal bem esticado. Exemplo de coplanares: três moedas paradas em cima da mesa — elas podem estar espalhadas, mas todas estão na mesma superfície.
Agora a pergunta final. Se três pontos estão sobre uma reta, e essa reta está desenhada dentro de um plano, então os três pontos também estão nesse plano.
Por isso a resposta é sim: pontos colineares são sempre coplanares. Mas o contrário nem sempre vale — três pontos podem estar no mesmo plano sem estarem na mesma reta.
Reta, semirreta e segmento de reta
6Dissertativo
Na reta t estão marcados os pontos R e S, nessa ordem, da esquerda para a direita. Escreva o significado de cada representação.
a) reta RS (com o símbolo ↔ sobre RS) b) semirreta RS (com o símbolo → sobre RS) c) semirreta SR (com o símbolo → sobre SR) d) segmento RS (com o traço sobre RS)
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Resposta
a) Reta RS: a reta que passa pelos pontos R e S, infinita nos dois sentidos. b) Semirreta RS: começa em R (origem), passa por S e segue sem fim para a direita. c) Semirreta SR: começa em S (origem), passa por R e segue sem fim para a esquerda. d) Segmento RS: o pedaço da reta que vai de R até S, incluindo os dois pontos; tem começo e fim.
Resolução passo a passo
Pense na reta t como uma estrada sem fim, com R à esquerda e S à direita.
a) A reta RS é a estrada inteira: não tem começo nem fim. O símbolo ↔ mostra os dois sentidos infinitos.
b) A semirreta RS é como sair de R e caminhar para sempre no sentido de S. O ponto R é a origem e a seta indica um único sentido.
c) A semirreta SR parte de S e caminha para sempre no sentido de R, ou seja, para a esquerda. Note que a primeira letra sempre indica a origem.
d) O segmento RS é só o trecho entre R e S, como o pedaço de estrada entre duas cidades. Ele tem começo, fim e uma medida.
7Calcule
Em uma reta r foram marcados quatro pontos distintos: A, B, C e D, nessa ordem.
a) Quantos segmentos de reta diferentes ficam determinados por esses pontos? Escreva o nome de todos eles. b) Quantas semirretas diferentes ficam determinadas por esses quatro pontos?
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Resposta
a) 6 segmentos: AB, AC, AD, BC, BD e CD. b) 8 semirretas.
Resolução passo a passo
a) Um segmento fica determinado por dois pontos. Então vamos combinar os pontos dois a dois, sem repetir.
Começando por A: AB, AC, AD (3 segmentos). Começando por B, sem repetir os que já saíram: BC, BD (2 segmentos). Começando por C: CD (1 segmento). E D não sobra nenhum novo.
Somando: 3 + 2 + 1 = 6 segmentos.
b) Cada ponto marcado na reta é origem de duas semirretas: uma que vai para a direita e outra que vai para a esquerda.
Como são 4 pontos, temos 4 × 2 = 8 semirretas diferentes.
8Múltipla escolha
Qual é a diferença entre uma semirreta e um segmento de reta?
Resposta
Alternativa b) A semirreta tem origem em um ponto e é infinita em um sentido; o segmento tem começo e fim.
Resolução passo a passo
A semirreta é como um raio de luz saindo de uma lanterna: tem um ponto de partida (a origem) e segue sem parar em um único sentido.
O segmento de reta é como um pedaço de barbante: tem duas pontas, chamadas extremidades, e por isso pode ser medido.
A letra a está errada, porque quem é infinito nos dois sentidos é a reta. A letra c troca as definições e a letra d está errada, pois semirreta e segmento são figuras diferentes.
Logo, a resposta correta é a letra b.
9Calcule
No plano β estão marcados quatro pontos distintos: M, N, P e Q, e não há três deles sobre uma mesma reta.
a) Quantas retas diferentes ficam determinadas ao unir esses pontos dois a dois? b) Escreva o nome dessas retas usando a notação de reta.
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Resposta
a) 6 retas. b) As retas MN, MP, MQ, NP, NQ e PQ (cada nome com o símbolo ↔ em cima).
Resolução passo a passo
a) Lembre da regra: por dois pontos distintos passa uma única reta. Então basta contar de quantos jeitos podemos escolher 2 pontos entre os 4.
Começando por M: MN, MP, MQ → 3 retas. Começando por N (sem repetir): NP, NQ → 2 retas. Começando por P: PQ → 1 reta.
Total: 3 + 2 + 1 = 6 retas. O enunciado avisa que não há três pontos alinhados; se houvesse, algumas dessas retas seriam a mesma e o total diminuiria.
b) Os nomes são: reta MN, reta MP, reta MQ, reta NP, reta NQ e reta PQ. Repare que a reta MN é a mesma coisa que a reta NM — a ordem das letras não muda a reta.
Segmentos colineares, consecutivos e adjacentes
10Dissertativo
Na reta s estão os pontos P, Q, R e T, nessa ordem. Classifique cada par de segmentos em somente colineares, colineares e consecutivos (adjacentes) ou não colineares.
a) PQ e QR b) PQ e RT c) PR e RT d) PR e QT
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Resposta
a) Colineares e consecutivos (adjacentes). b) Somente colineares. c) Colineares e consecutivos (adjacentes). d) Somente colineares.
Resolução passo a passo
Todos os pontos estão na mesma reta s, então todos os pares são colineares. Falta ver quais são consecutivos (têm uma extremidade comum) e quais são adjacentes (consecutivos, colineares e sem pontos internos comuns).
a) PQ e QR têm o ponto Q como extremidade comum e não se sobrepõem. São consecutivos, colineares e, portanto, adjacentes.
b) PQ e RT não têm nenhum ponto em comum (entre Q e R há um espaço). Então são somente colineares.
c) PR e RT têm o ponto R como extremidade comum e não se sobrepõem: são adjacentes.
d) PR e QT se sobrepõem no trecho de Q até R e não têm extremidade comum. Logo, são somente colineares.
11Múltipla escolha
Leia a definição: dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes quando têm apenas uma extremidade em comum, sem pontos internos comuns. Com base nisso, marque a alternativa correta.
Resposta
Alternativa b) Todo par de segmentos adjacentes é consecutivo e colinear.
Resolução passo a passo
Leia a definição com atenção: para dois segmentos serem adjacentes eles precisam de três coisas ao mesmo tempo — ser consecutivos, ser colineares e não ter pontos internos comuns.
Então, se um par é adjacente, com certeza ele já é consecutivo e colinear. Isso confirma a letra b.
A letra a é falsa, pois dois segmentos consecutivos podem formar um bico (não estarem na mesma reta). A letra c é falsa, porque segmentos colineares podem estar separados, sem extremidade comum.
A letra d também é falsa: segmentos adjacentes têm sim um ponto em comum — a extremidade que eles dividem.
12Dissertativo
Numa figura em forma de zigue-zague, os pontos A, B, C e D estão ligados nesta ordem: A liga com B, B liga com C e C liga com D. Os três segmentos não estão sobre a mesma reta.
a) Cite dois pares de segmentos consecutivos dessa figura. b) Esses pares são adjacentes? Justifique sua resposta.
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Resposta
a) Os pares AB e BC (extremidade comum B) e BC e CD (extremidade comum C). b) Não são adjacentes. Eles são consecutivos, mas não são colineares, pois não estão sobre a mesma reta. Para serem adjacentes, precisariam também ser colineares.
Resolução passo a passo
a) Segmentos consecutivos são aqueles que têm uma extremidade em comum. Na figura em zigue-zague, AB termina em B e BC começa em B: esse é o primeiro par.
Do mesmo jeito, BC termina em C e CD começa em C: esse é o segundo par.
b) Agora pense na palavra adjacentes. Ela exige duas condições: os segmentos precisam ser consecutivos e estar sobre a mesma reta.
Como o enunciado diz que os três segmentos não estão na mesma reta (eles formam um zigue-zague), a segunda condição falha. Por isso, os pares são apenas consecutivos, e não adjacentes.
13Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)Dois segmentos são colineares quando estão sobre a mesma reta suporte.
b)Dois segmentos são consecutivos quando têm uma extremidade comum.
c)Dois segmentos consecutivos sempre estão na mesma reta.
d)Segmentos adjacentes não têm pontos internos em comum.
Resposta
a) V b) V c) F d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. A reta suporte é a reta em que o segmento está desenhado. Se os dois estão na mesma reta suporte, eles são colineares.
b) Verdadeiro. Ter uma extremidade comum é exatamente a definição de segmentos consecutivos.
c) Falso. Dois segmentos podem se encontrar em uma ponta e formar um bico, como no zigue-zague do exercício 12. Nesse caso são consecutivos, mas não colineares.
d) Verdadeiro. Segmentos adjacentes só compartilham a extremidade; eles não se sobrepõem, ou seja, não têm pontos internos em comum.
Medida de um segmento e segmentos congruentes
14Calcule
Tomando o segmento u como unidade de medida, sabe-se que med(AB) = 5 · med(u) e med(CD) = 3 · med(u).
a) Quantas vezes o segmento AB é maior que o segmento CD? Explique. b) Se med(u) = 2 cm, quanto medem AB e CD em centímetros?
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Resposta
a) AB é 5/3 do CD, ou seja, cerca de 1,67 vez o CD (AB tem 2 unidades a mais que CD). b) AB = 10 cm e CD = 6 cm.
Resolução passo a passo
a) O segmento u é a unidade de medida: é como se fosse o "tijolinho" usado para medir.
AB vale 5 tijolinhos e CD vale 3 tijolinhos. Para saber quantas vezes AB é maior, dividimos: 5 ÷ 3 = 5/3 ≈ 1,67.
Então AB é aproximadamente 1,67 vez o CD. Se a pergunta fosse quanto AB tem a mais, faríamos 5 − 3 = 2 unidades a mais.
b) Agora cada tijolinho vale 2 cm. Então: AB = 5 × 2 cm = 10 cm e CD = 3 × 2 cm = 6 cm.
Confira: 10 ÷ 6 ≈ 1,67. Bate com o item a.
15Múltipla escolha
Dois segmentos de reta são congruentes quando:
Resposta
Alternativa c) têm o mesmo comprimento.
Resolução passo a passo
Dois segmentos são congruentes quando têm a mesma medida, isto é, o mesmo comprimento.
Não importa onde eles estejam desenhados, nem se estão em pé, deitados ou inclinados. O que vale é o número que a régua mostra.
Por isso, a letra a (mesma reta suporte) e a letra b (extremidade comum) não servem: falam de posição, e não de medida. A letra d fala de ângulo, que também não tem a ver com comprimento.
Resposta: letra c.
16Dissertativo
Com uma régua, meça os segmentos abaixo desenhados no seu caderno e responda. (Desenhe primeiro: um segmento EF de 6 cm e um segmento GH de 6 cm colocados em posições diferentes, um na horizontal e outro inclinado.)
a) Os segmentos EF e GH são congruentes? Por quê? b) A posição do segmento na folha muda a sua medida? Explique.
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Resposta
a) Sim, EF e GH são congruentes, porque os dois medem 6 cm, ou seja, têm o mesmo comprimento. b) Não. A posição na folha não muda a medida do segmento: deitado, em pé ou inclinado, ele continua com 6 cm.
Resolução passo a passo
Primeiro desenhe: trace EF na horizontal com 6 cm, medindo com a régua do 0 até o 6. Depois trace GH inclinado, também com 6 cm, encostando o 0 da régua em G.
a) Ao medir, os dois dão 6 cm. Como têm a mesma medida, eles são congruentes. Escrevemos EF ≡ GH.
b) Muita gente acha que o segmento inclinado é maior ou menor, mas isso é impressão dos olhos. A régua mostra que a medida é a mesma.
Guarde a ideia: o que define o tamanho de um segmento é a sua medida, e não a posição em que ele foi desenhado.
17Múltipla escolha
Em uma ilusão de óptica, o segmento MN parece mais curto que o segmento PQ. Ao medir com a régua, um aluno encontrou 7 cm para os dois. O que se pode concluir?
Resposta
Alternativa b) Os segmentos são congruentes, pois têm a mesma medida; a aparência enganou os olhos.
Resolução passo a passo
Nas ilusões de óptica, desenhos ao redor (setas, cores, inclinações) fazem nossos olhos julgarem errado o tamanho das figuras.
Na Geometria, quem decide é a medida. Se MN mede 7 cm e PQ mede 7 cm, os dois têm o mesmo comprimento.
Segmentos com a mesma medida são congruentes, então MN ≡ PQ.
As outras alternativas erram porque confiam na aparência (a) ou dizem coisas falsas: a régua não está errada (c) e podemos comparar segmentos em qualquer posição (d).
Ângulo, elementos e uso do transferidor
18Dissertativo
Um ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem. Sobre os elementos do ângulo AÔB, responda:
a) Qual ponto é o vértice? b) Quais são os lados? c) Escrever BÔA representa o mesmo ângulo que AÔB? Justifique.
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Resposta
a) O vértice é o ponto O. b) Os lados são as semirretas OA e OB. c) Sim. AÔB e BÔA representam o mesmo ângulo, porque a letra do meio continua sendo o vértice O e os lados são os mesmos; só mudou a ordem em que citamos os lados.
Resolução passo a passo
Um ângulo é a região formada por duas semirretas que saem do mesmo ponto.
a) Esse ponto de partida comum é o vértice. Na escrita AÔB, o vértice é sempre a letra do meio, aquela que leva o chapeuzinho: o ponto O.
b) As duas semirretas que saem de O são os lados do ângulo: a semirreta OA e a semirreta OB.
c) Ao escrever BÔA, o vértice continua sendo O e os lados continuam sendo OA e OB. Portanto, é o mesmo ângulo, apenas nomeado começando pelo outro lado.
19Múltipla escolha
Sobre o transferidor, assinale a alternativa correta.
Resposta
Alternativa b) A linha de fé é o segmento que passa pelas graduações de 0° e 180°.
Resolução passo a passo
O transferidor tem três partes importantes: o centro, a linha de fé e o limbo.
A linha de fé é a linha reta da base, que liga o 0° ao 180°. No meio dela fica o centro, o pontinho que encostamos no vértice do ângulo.
O limbo é a parte curva, o arco onde ficam marcados os graus de 0 a 180.
Por isso, a letra a troca limbo com centro, a letra c troca centro com limbo e a letra d está errada, pois transferidor mede ângulos (em graus), não comprimentos.
20Dissertativo
Explique, em passos, como se deve posicionar o transferidor para medir corretamente um ângulo AÔB.
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Resposta
1º) Coloque o centro do transferidor exatamente sobre o vértice O do ângulo. 2º) Gire o transferidor até que a linha de fé fique em cima de um dos lados do ângulo (por exemplo, a semirreta OA), com o 0° sobre esse lado. 3º) Veja onde o outro lado (a semirreta OB) cruza o limbo, a parte curva graduada. 4º) Leia o número na escala que começou no 0°: esse número é a medida do ângulo em graus. Se o lado for curto, prolongue-o com a régua para facilitar a leitura.
Resolução passo a passo
Passo 1 – encaixar o centro. O pontinho do meio da linha de fé (o centro) precisa ficar exatamente sobre o vértice O. Se ele escorregar, a medida sai errada.
Passo 2 – alinhar a linha de fé. Gire o transferidor até um dos lados do ângulo passar bem em cima da linha de fé, marcando 0° nesse lado.
Passo 3 – olhar o outro lado. Siga a semirreta OB até onde ela cruza o limbo (a parte curva com os números). Se ela for curta demais, use a régua para prolongar o traço.
Passo 4 – ler o número certo. O transferidor tem duas escalas de números. Use a escala que começou no 0° do lado que você alinhou. O número lido é a medida do ângulo, em graus (°).
21Calcule
Uma circunferência completa corresponde a 360°. Calcule:
a) A quantos graus corresponde 1/4 da circunferência? b) E 1/2 da circunferência? c) E 1/3 da circunferência? d) E 1/6 da circunferência?
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Resposta
a) 90° b) 180° c) 120° d) 60°
Resolução passo a passo
A volta completa vale 360°. Para achar uma parte dela, basta dividir 360 pelo número de pedaços iguais.
a) 1/4 da circunferência: 360° ÷ 4 = 90°. Esse é o ângulo reto, o cantinho do quadrado.
b) 1/2 da circunferência: 360° ÷ 2 = 180°. É o ângulo raso, que parece uma linha reta.
c) 1/3 da circunferência: 360° ÷ 3 = 120°.
d) 1/6 da circunferência: 360° ÷ 6 = 60°. Repare que 6 ângulos de 60° juntos dão a volta toda: 6 × 60 = 360.
22Dissertativo
Com o auxílio de régua e transferidor, desenhe no caderno os ângulos com as medidas indicadas e nomeie cada um deles.
a) med(AÔB) = 45° b) med(CD̂E) = 100° c) med(FĜH) = 160°
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Resposta
Construção no caderno. Em cada item: trace um lado com a régua, encaixe o transferidor e marque a medida pedida — a) AÔB de 45° (ângulo agudo); b) CD̂E de 100° (ângulo obtuso); c) FĜH de 160° (ângulo obtuso). Depois, escreva os nomes dos pontos: o vértice é a letra do meio (O, D e G).
Resolução passo a passo
Passo 1. Com a régua, trace uma semirreta partindo do vértice. No item a, chame o vértice de O e um ponto do lado de A.
Passo 2. Encaixe o centro do transferidor no vértice O e a linha de fé sobre a semirreta OA, com o 0° em cima dela.
Passo 3. Procure na escala o número pedido (45°, depois 100° e depois 160°) e faça um risquinho no papel nesse lugar. Marque ali o ponto B (ou E, ou H).
Passo 4. Tire o transferidor e ligue o vértice ao ponto marcado usando a régua. Pronto: está formado o ângulo. Escreva o nome ao lado — AÔB, CD̂E e FĜH — lembrando que a letra do meio é sempre o vértice.
Para conferir: o de 45° deve ser agudo (menor que 90°) e os de 100° e 160° devem ser obtusos (entre 90° e 180°).
Classificação dos ângulos
23Dissertativo
Classifique cada ângulo em nulo, agudo, reto, obtuso, raso ou de uma volta.
a) 90° b) 37° c) 180° d) 0° e) 125° f) 360° g) 89° h) 179°
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Resposta
a) reto b) agudo c) raso d) nulo e) obtuso f) de uma volta g) agudo h) obtuso
Resolução passo a passo
Guarde a régua da classificação: nulo = 0°; agudo = maior que 0° e menor que 90°; reto = exatamente 90°; obtuso = maior que 90° e menor que 180°; raso = 180°; de uma volta = 360°.
a) 90° é exatamente o valor do ângulo reto. b) 37° é menor que 90°, logo é agudo. c) 180° é o ângulo raso (meia-volta). d) 0° é o ângulo nulo, quando os dois lados ficam um sobre o outro.
e) 125° está entre 90° e 180°, então é obtuso. f) 360° é a volta completa: ângulo de uma volta.
g) 89° é quase reto, mas ainda é menor que 90°: é agudo. h) 179° é quase raso, mas ainda é menor que 180°: é obtuso. Perceba que o que vale é comparar com 90° e 180°.
24Múltipla escolha
Qual das situações abaixo forma um ângulo obtuso?
Resposta
Alternativa c) Uma cadeira de praia bem reclinada, com o encosto a 130° do assento.
Resolução passo a passo
Um ângulo obtuso mede mais que 90° e menos que 180°.
Na letra a, o canto da folha do caderno forma 90°: é ângulo reto. Na letra b, às 3 horas em ponto os ponteiros formam 90°: também é reto.
Na letra c, o encosto forma 130° com o assento. Como 130° está entre 90° e 180°, esse ângulo é obtuso. É a resposta.
Na letra d, a porta fechada encostada no batente forma 0°: é ângulo nulo.
25Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)O ângulo raso mede 180° e é chamado de ângulo de meia-volta.
b)Um ângulo agudo mede mais que 90°.
c)O ângulo reto corresponde a 1/4 da circunferência.
d)O ângulo nulo e o ângulo de uma volta têm o mesmo desenho, mas significados diferentes.
e)Um ângulo de 180° é obtuso.
Resposta
a) V b) F c) V d) V e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O ângulo raso mede 180°, que é metade da volta completa (360° ÷ 2). Por isso o apelido de meia-volta.
b) Falso. O ângulo agudo mede menos que 90°. Quem mede mais que 90° (e menos que 180°) é o obtuso.
c) Verdadeiro. 360° ÷ 4 = 90°, que é a medida do ângulo reto.
d) Verdadeiro. No ângulo nulo (0°) e no de uma volta (360°) os lados ficam sobrepostos, então o desenho parece igual. A diferença é que no de uma volta o lado deu um giro completo.
e) Falso. 180° é o ângulo raso. Obtuso é só o que fica entre 90° e 180°, sem chegar a 180°.
26Dissertativo
Observe os objetos ao seu redor e cite, para cada caso, um exemplo diferente dos que aparecem no livro:
a) um objeto que forme um ângulo reto; b) um objeto que forme um ângulo agudo; c) um objeto que forme um ângulo obtuso.
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Resposta
Resposta pessoal. Exemplos possíveis: a) ângulo reto — o canto de uma janela, o encontro entre a parede e o chão, o canto da tela da televisão; b) ângulo agudo — a ponta de uma fatia fina de pizza, um compasso pouco aberto, a ponta de um lápis apontado; c) ângulo obtuso — uma poltrona reclinada, um leque bem aberto, a tampa de um notebook bastante inclinada.
Resolução passo a passo
Para responder, olhe ao redor e pense em objetos que formem "bicos" ou "aberturas".
a) Procure cantos quadrados: parede com o chão, moldura de quadro, canto do azulejo. Esses formam ângulo reto (90°).
b) Procure aberturas pequenas, bem fechadas: tesoura quase fechada, ponta de uma fatia fina de pizza, compasso pouco aberto. São ângulos agudos (menos de 90°).
c) Procure aberturas maiores que o canto de uma folha: espreguiçadeira reclinada, leque aberto, tampa do notebook inclinada para trás. São ângulos obtusos (entre 90° e 180°).
Dica: use o canto de uma folha de papel como "medidor" de 90°. Se a abertura for menor que o canto, é aguda; se for maior, é obtusa.
27Calcule
Uma escada apoiada na parede forma com o chão um ângulo de 72°. Um portão aberto forma com o muro um ângulo de 118°.
a) Classifique cada um desses ângulos. b) Qual deles é maior? Quantos graus a mais?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) O ângulo da escada, 72°, é agudo; o ângulo do portão, 118°, é obtuso. b) O maior é o do portão (118°), com 46° a mais que o da escada.
Resolução passo a passo
a) Compare cada medida com 90° e 180°.
Como 72° é menor que 90°, o ângulo da escada é agudo. Como 118° está entre 90° e 180°, o ângulo do portão é obtuso.
b) Para saber quantos graus a mais, fazemos uma subtração:
118° − 72° = 46°.
Então o ângulo do portão é maior e tem 46° a mais que o da escada.
Ângulos em figuras geométricas
28Calcule
Em um triângulo, dois ângulos internos medem 55° e 70°.
a) Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, calcule a medida do terceiro ângulo. b) Classifique esse terceiro ângulo em agudo, reto ou obtuso.
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Resposta
a) 55° b) É um ângulo agudo, pois 55° é menor que 90°.
Resolução passo a passo
a) A regra diz que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Primeiro, some os dois ângulos que já conhecemos: 55° + 70° = 125°.
Agora tire esse valor do total: 180° − 125° = 55°. Esse é o terceiro ângulo.
b) Como 55° é menor que 90°, esse ângulo é agudo. (Nesse triângulo, todos os três ângulos são agudos.)
29Dissertativo
Responda e justifique usando o que você aprendeu sobre a soma dos ângulos internos.
a) É possível existir um triângulo com dois ângulos retos? b) É possível existir um triângulo com um ângulo reto e um obtuso?
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Resposta
a) Não. Dois ângulos retos já somam 180°, e não sobraria nada para o terceiro ângulo, que precisa ser maior que 0°. b) Não. Um ângulo reto (90°) mais um obtuso (mais de 90°) já passam de 180°, o que é impossível em um triângulo.
Resolução passo a passo
A ideia central é sempre a mesma: em todo triângulo, os três ângulos internos somam exatamente 180°.
a) Se dois ângulos fossem retos, teríamos 90° + 90° = 180°. Aí o terceiro ângulo teria de medir 180° − 180° = 0°.
Mas um ângulo de 0° não existe dentro de um triângulo — os dois lados ficariam grudados e a figura não fecharia. Por isso é impossível.
b) Se um ângulo é reto (90°) e outro é obtuso (por exemplo, 100°), a soma já é 190°, maior que 180°.
Como passamos do total permitido, também é impossível. Conclusão: um triângulo pode ter, no máximo, um ângulo reto ou um obtuso.
30Múltipla escolha
Em um quadrilátero, três ângulos internos medem 90°, 85° e 100°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, qual é a medida do quarto ângulo?
Resposta
Alternativa b) 85°
Resolução passo a passo
Num quadrilátero, os quatro ângulos internos somam 360°.
Primeiro, some os três ângulos conhecidos: 90° + 85° = 175°; depois 175° + 100° = 275°.
Agora subtraia do total: 360° − 275° = 85°.
Conferindo: 90° + 85° + 100° + 85° = 360°. Está correto, então a resposta é a letra b.
31Calcule
Um retângulo tem os quatro ângulos internos iguais.
a) Quanto mede cada ângulo interno de um retângulo? Mostre o cálculo. b) Como se chama esse tipo de ângulo?
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Resposta
a) Cada ângulo interno mede 90°, pois 360° ÷ 4 = 90°. b) Chama-se ângulo reto.
Resolução passo a passo
a) O retângulo é um quadrilátero, ou seja, tem 4 lados e 4 ângulos internos. A soma desses ângulos é sempre 360°.
Como o enunciado diz que os quatro ângulos são iguais, dividimos o total igualmente:
360° ÷ 4 = 90°.
b) Um ângulo de 90° recebe o nome de ângulo reto. É por isso que os cantos de uma folha, de uma porta e de uma janela são "quadradinhos".
32Dissertativo
Desenhe no caderno um triângulo qualquer, meça seus três ângulos internos com o transferidor e some as medidas encontradas. Depois, escreva o que você observou e explique se o resultado combina com a regra da soma dos ângulos internos de um triângulo.
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Resposta
Resposta pessoal (atividade prática). O esperado é que a soma dos três ângulos medidos dê 180° ou um valor bem próximo, como 179° ou 181°. Conclusão: o resultado combina com a regra, pois em todo triângulo a soma dos ângulos internos é 180°; pequenas diferenças acontecem por causa de erros de desenho e de leitura do transferidor.
Resolução passo a passo
Passo 1. Desenhe um triângulo qualquer com a régua. Pode ser "torto", não precisa ter lados iguais. Nomeie os vértices de A, B e C.
Passo 2. Meça o ângulo do vértice A com o transferidor: centro no vértice, linha de fé sobre um dos lados. Anote a medida. Repita em B e em C.
Passo 3. Some as três medidas anotadas. Exemplo: 62° + 71° + 47° = 180°.
Passo 4. Compare com a regra. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Se você achou 179° ou 181°, não tem problema: a diferença vem do traço do lápis e da leitura da escala, e não da regra.
Escreva sua conclusão com suas palavras, dizendo qual soma encontrou e por que ela confirma a regra.
Posições relativas entre duas retas
33Dissertativo
Relacione cada posição relativa entre duas retas coplanares à sua descrição.
( ) Têm todos os pontos em comum. ( ) Não têm nenhum ponto em comum. ( ) Têm apenas um ponto em comum. ( ) São concorrentes e formam ângulo de 90°.
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Resposta
( 3 ) Têm todos os pontos em comum. ( 1 ) Não têm nenhum ponto em comum. ( 2 ) Têm apenas um ponto em comum. ( 4 ) São concorrentes e formam ângulo de 90°.
Resolução passo a passo
Pense em quantos pontos as duas retas dividem.
Se elas têm todos os pontos em comum, na verdade uma está exatamente em cima da outra: são retas coincidentes (3).
Se não têm ponto em comum, por mais que a gente prolongue, são paralelas (1). Exemplo: os trilhos do trem.
Se têm apenas um ponto em comum, elas se cruzam: são concorrentes (2).
E quando o cruzamento forma quatro ângulos de 90°, elas ganham um nome especial: perpendiculares (4). Toda perpendicular é concorrente, mas nem toda concorrente é perpendicular.
34Múltipla escolha
Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação falsa.
Resposta
Alternativa c) Duas retas paralelas têm apenas um ponto em comum. (afirmação falsa)
Resolução passo a passo
Retas paralelas são justamente aquelas que não têm nenhum ponto em comum, por mais que sejam prolongadas.
Quem tem apenas um ponto em comum são as retas concorrentes. Por isso a letra c está errada — e é o que o exercício pede.
As outras estão certas: a letra a é a própria definição de paralelas; a letra b é verdadeira, pois retas perpendiculares se cruzam num ponto (logo são concorrentes) formando 90°.
A letra d também é verdadeira: coplanares significa "que estão no mesmo plano".
35Dissertativo
Complete as frases com paralelas, concorrentes ou perpendiculares.
a) Os trilhos de uma linha de trem dão ideia de retas ____________. b) As duas hastes de um X dão ideia de retas ____________. c) As linhas da cruz da bandeira da Suíça dão ideia de retas ____________. d) As linhas de uma folha de caderno pautado dão ideia de retas ____________.
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Resposta
a) paralelas b) concorrentes c) perpendiculares d) paralelas
Resolução passo a passo
a) Os trilhos do trem seguem lado a lado, sempre à mesma distância, e nunca se encontram: retas paralelas.
b) As duas hastes de um X se cruzam em um ponto, mas o cruzamento não forma 90°: retas concorrentes.
c) Na bandeira da Suíça, a cruz tem um traço em pé e outro deitado que se cruzam formando cantos de 90°: retas perpendiculares.
d) As linhas de um caderno pautado são uma embaixo da outra, sempre com o mesmo espaço, sem nunca se encontrar: retas paralelas.
36Dissertativo
Nas ruas de Barcelona, muitas avenidas se cruzam formando ângulos de 90°. Que nome recebem essas retas que se cruzam desse jeito? E como se chamam as ruas de um mesmo quarteirão que nunca se encontram?
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Resposta
As avenidas que se cruzam formando ângulos de 90° dão ideia de retas perpendiculares. As ruas de um mesmo quarteirão que nunca se encontram dão ideia de retas paralelas.
Resolução passo a passo
Primeiro, pense no cruzamento. Quando duas retas se cruzam e formam quatro ângulos de 90° (ângulos retos), elas são chamadas de perpendiculares.
É o caso das avenidas de Barcelona, que formam quarteirões quadradinhos vistos de cima.
Agora, pense nas ruas que seguem lado a lado. Se elas nunca se encontram, mesmo continuando bem longe, elas são paralelas.
Esse desenho de cidade, com ruas paralelas e perpendiculares, é chamado de traçado em quadrícula ou tabuleiro de xadrez.
37Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)Duas retas concorrentes têm exatamente um ponto em comum.
b)Retas coincidentes são retas diferentes que se cruzam.
c)Se duas retas formam um ângulo de 90°, elas são perpendiculares.
d)Retas paralelas mantêm sempre a mesma distância entre si.
Resposta
a) V b) F c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. Retas concorrentes se cruzam em um único ponto.
b) Falso. Retas coincidentes são retas que ocupam exatamente o mesmo lugar: têm todos os pontos em comum, ou seja, são a mesma reta desenhada duas vezes.
c) Verdadeiro. Cruzar formando 90° é a definição de retas perpendiculares.
d) Verdadeiro. Retas paralelas ficam sempre à mesma distância uma da outra; é por isso que nunca se encontram.
Construções geométricas: retas paralelas e perpendiculares
38Dissertativo
Use o jogo de esquadros para fazer no caderno o que se pede: trace uma reta r, marque um ponto T fora dela e construa:
a) a reta a, paralela a r, passando por T; b) a reta b, perpendicular a r, passando por T.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Construção no caderno. a) A reta a passa por T e nunca cruza r (paralela a r). b) A reta b passa por T e cruza r formando quatro ângulos de 90° (perpendicular a r).
Resolução passo a passo
Item a – reta paralela. Trace a reta r e marque o ponto T fora dela. Encoste um lado de um esquadro sobre a reta r.
Apoie o segundo esquadro (ou a régua) encostado no primeiro, segurando firme. Deslize o primeiro esquadro por cima do apoio até que o lado dele passe pelo ponto T e trace a reta a.
Como o esquadro só deslizou, sem girar, a reta a fica paralela a r.
Item b – reta perpendicular. Use o ângulo reto do esquadro (o cantinho de 90°). Encoste um dos lados do ângulo reto sobre a reta r e escorregue o esquadro até o outro lado tocar o ponto T.
Trace a reta b por esse lado. Ela cruzará r formando 90°, ou seja, será perpendicular a r. Confira com o transferidor.
39Múltipla escolha
Na construção de retas paralelas com o jogo de esquadros, qual é a função de cada esquadro?
Resposta
Alternativa b) Um esquadro fica fixo, servindo de apoio, e o outro desliza sobre ele.
Resolução passo a passo
No jogo de esquadros, cada peça tem um papel diferente.
Um esquadro é o apoio: ele fica parado, preso com a mão, funcionando como um trilho.
O outro esquadro desliza encostado nesse trilho. Como ele escorrega sem girar, a inclinação não muda, e todas as retas traçadas saem paralelas.
Por isso a resposta é a letra b. As outras estão erradas: se os dois se mexessem, a inclinação mudaria (a); esquadros não medem ângulos como o transferidor (c e d).
40Dissertativo
Com auxílio dos esquadros, construa no caderno três retas coplanares m, n e p, sabendo que m e n são paralelas entre si e que p é perpendicular a m. Depois responda: qual é a posição relativa entre as retas p e n? Justifique.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Construção no caderno. A reta p também é perpendicular à reta n. Justificativa: se p forma 90° com m, e n é paralela a m (tem a mesma inclinação de m), então p também forma 90° com n.
Resolução passo a passo
Passo 1. Trace a reta m. Com o jogo de esquadros, deslize e trace a reta n paralela a m.
Passo 2. Agora use o ângulo reto do esquadro apoiado sobre m e trace a reta p, cruzando m em 90°.
Passo 3. Prolongue a reta p com a régua até ela cruzar a reta n. Meça esse novo cruzamento com o transferidor: dá 90°.
Conclusão. Como m e n são paralelas, elas têm a mesma direção. Então qualquer reta que forme 90° com uma delas forma 90° com a outra. Logo, p é perpendicular a n.
41Dissertativo
Desenhe, com régua, um quadrado de 4 cm de lado. Em seguida, responda:
a) Quais pares de lados são paralelos? b) Quais pares de lados são perpendiculares? c) Quanto mede cada ângulo interno dessa figura?
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Resposta
Desenho no caderno de um quadrado ABCD com 4 cm em cada lado. a) São paralelos os lados opostos: AB e DC; AD e BC. b) São perpendiculares os lados que se encontram nos vértices: AB e BC; BC e CD; CD e DA; DA e AB. c) Cada ângulo interno mede 90° (ângulo reto).
Resolução passo a passo
Como desenhar. Trace um segmento AB de 4 cm. No ponto A e no ponto B, use o esquadro para traçar duas retas perpendiculares a AB. Marque 4 cm em cada uma (pontos D e C) e ligue D a C.
a) Olhe para os lados que ficam "um de frente para o outro": AB e DC nunca se encontram, assim como AD e BC. Esses pares são paralelos.
b) Olhe agora para os lados vizinhos, que se tocam em um vértice. Eles formam um canto de 90°, então são perpendiculares. São 4 pares: AB e BC, BC e CD, CD e DA, DA e AB.
c) Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360° e os quatro ângulos do quadrado são iguais: 360° ÷ 4 = 90°. Cada ângulo interno é reto.
Revisão e aplicações (Mergulhando fundo)
42Calcule
Um relógio analógico marca 12h em ponto. Sabendo que uma volta completa do mostrador corresponde a 360°, calcule:
a) o ângulo formado entre dois números seguidos do relógio (por exemplo, entre o 12 e o 1); b) o ângulo formado pelos ponteiros quando o relógio marca 3 horas em ponto, e classifique-o; c) o ângulo formado pelos ponteiros quando o relógio marca 6 horas em ponto, e classifique-o.
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Resposta
a) 30° b) 90°, que é um ângulo reto. c) 180°, que é um ângulo raso.
Resolução passo a passo
a) O mostrador do relógio tem 12 números que dividem a volta completa em 12 partes iguais.
Então cada parte mede 360° ÷ 12 = 30°. Esse é o ângulo entre dois números seguidos, como entre o 12 e o 1.
b) Às 3 horas em ponto, o ponteiro das horas aponta para o 3 e o dos minutos aponta para o 12. Entre eles há 3 espaços: 3 × 30° = 90°.
Como mede exatamente 90°, é um ângulo reto.
c) Às 6 horas em ponto, um ponteiro aponta para o 6 e o outro para o 12. São 6 espaços: 6 × 30° = 180°.
Os ponteiros ficam alinhados, formando um ângulo raso (meia-volta).
43Calcule
O ponteiro dos minutos dá uma volta completa (360°) em 60 minutos. Calcule quantos graus ele gira em:
a) 15 minutos; b) 20 minutos; c) 40 minutos. Classifique o ângulo obtido em cada item.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 90° — ângulo reto. b) 120° — ângulo obtuso. c) 240° — um giro maior que o ângulo raso (180°) e menor que a volta completa; o ângulo que aparece marcado no relógio entre as duas posições do ponteiro é 360° − 240° = 120°, que é obtuso.
Resolução passo a passo
Primeiro, descubra quanto o ponteiro gira em 1 minuto: 360° ÷ 60 = 6° por minuto.
a) Em 15 minutos: 15 × 6° = 90°. Como é exatamente 90°, o ângulo é reto. (Confere: 15 min é 1/4 de hora, e 1/4 da volta é 90°.)
b) Em 20 minutos: 20 × 6° = 120°. Está entre 90° e 180°, então é um ângulo obtuso.
c) Em 40 minutos: 40 × 6° = 240°. Esse giro é maior que o ângulo raso (180°) e menor que a volta completa (360°).
Olhando o relógio, a abertura menor entre a posição inicial e a final do ponteiro vale 360° − 240° = 120°, que é um ângulo obtuso.
44Múltipla escolha
Uma norma diz que a rampa de acesso de um prédio deve formar com o chão um ângulo entre 5° e 10°. Um pedreiro construiu quatro rampas, com os ângulos indicados. Qual delas está de acordo com a norma?
Resposta
Alternativa b) 8°
Resolução passo a passo
A norma diz que o ângulo da rampa com o chão deve ficar entre 5° e 10°.
Agora teste cada rampa. A de 3° é pequena demais: 3° é menor que 5°, então está fora.
A de 8° está entre 5° e 10°: está de acordo com a norma.
As de 12° e 15° são maiores que 10°, ou seja, ficariam íngremes demais e também estão fora. Resposta: letra b.
45Calcule
Observe um hexágono regular (polígono de 6 lados iguais e 6 ângulos iguais). Sabendo que a soma dos seus ângulos internos é 720°:
a) calcule a medida de cada ângulo interno; b) esse ângulo é agudo, reto ou obtuso? Justifique.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 120° b) É um ângulo obtuso, porque 120° é maior que 90° e menor que 180°.
Resolução passo a passo
a) O hexágono é regular, ou seja, tem os 6 lados iguais e os 6 ângulos internos iguais.
Como a soma de todos eles é 720°, dividimos igualmente pelos 6 ângulos:
720° ÷ 6 = 120°. Cada ângulo interno mede 120°.
b) Compare com 90° e 180°. Como 120° é maior que 90° e menor que 180°, esse ângulo é obtuso.
É por isso que o favo de mel, que tem forma hexagonal, parece ter cantos "abertos", diferentes dos cantos quadrados.
46Dissertativo
Pense no traçado das ruas do bairro onde você mora ou estuda. Escreva um pequeno texto (4 a 6 linhas) explicando onde você identifica retas paralelas, retas perpendiculares e ângulos retos nesse traçado, e por que essas formas ajudam na organização da cidade.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Resposta pessoal. Exemplo de texto: "No meu bairro, a rua da escola e a rua de casa seguem lado a lado e nunca se encontram: elas dão ideia de retas paralelas. Já a avenida principal cruza essas duas ruas formando cantos de 90°, ou seja, ela é perpendicular a elas e cria ângulos retos nas esquinas. Por causa disso, os quarteirões ficam parecidos com retângulos. Esse traçado ajuda na organização da cidade, porque facilita achar endereços, deixa o trânsito mais fácil de sinalizar e aproveita melhor o espaço dos terrenos."
Resolução passo a passo
Passo 1 – observar. Imagine (ou desenhe) o mapa do seu bairro visto de cima. Procure ruas que seguem lado a lado sem se cruzar: essas dão ideia de retas paralelas.
Passo 2 – achar os cruzamentos. Veja as esquinas. Quando duas ruas se cruzam formando um canto "quadradinho", elas são perpendiculares e formam ângulos retos (90°).
Passo 3 – escrever. Monte de 4 a 6 linhas citando o nome real das ruas do seu bairro e dizendo onde estão as paralelas, as perpendiculares e os ângulos retos.
Passo 4 – explicar a utilidade. Termine dizendo por que isso ajuda: quarteirões retangulares facilitam encontrar endereços, organizar a numeração das casas, planejar o trânsito e aproveitar melhor os terrenos.
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Capítulo 6 – Ângulos e retas (Matemática – 6º ano)
Resumo rápido
Capítulo 6 – Ângulos e retas (Matemática – 6º ano)
Resumo rápido
1Elementos fundamentais da Geometria
Ponto, reta e plano são os três elementos básicos da Geometria. Eles são chamados de conceitos primitivos: não precisam de definição, a gente só imagina o que são.
Uma boa forma de entender é comparar com coisas do dia a dia.
Exemplo
Uma estrela no céu lembra um ponto; um fio de energia esticado lembra uma reta; um campo de futebol lembra um plano.
1.1Ponto
O ponto não tem dimensão nenhuma: nem comprimento, nem largura, nem altura.
Ele é indicado por letra maiúscula: A, B, C, D.
1.2Reta
A reta tem uma só dimensão: o comprimento, que é infinito (não tem começo nem fim).
É indicada por letra minúscula (r, s, t) ou por dois pontos com uma seta dupla em cima, como AB.
1.3Plano
O plano é infinito e tem duas dimensões (é como uma folha sem fim).
É indicado por letras gregas minúsculas: α (alfa), β (beta), γ (gama).
1.4Símbolos e nomes importantes
Usamos ∈ (pertence) para ponto e reta ou ponto e plano, e ⊂ (está contido) para reta dentro de plano.
Pontos na mesma reta são colineares. Pontos no mesmo plano são coplanares. Retas no mesmo plano também são coplanares.
📐 Para guardar
A ∈ α (o ponto A pertence ao plano α)
r ⊂ β (a reta r está contida no plano β)
2Reta, semirreta e segmento de reta
Dois pontos distintos determinam uma única reta. A partir da reta, nascem duas figuras novas: a semirreta e o segmento.
2.1Semirreta
A semirreta é o pedaço da reta que tem começo em um ponto e continua infinita para um só lado.
A semirreta AB começa em A e passa por B. Já a semirreta BA começa em B e passa por A: são diferentes!
2.2Segmento de reta
O segmento de reta é o pedaço da reta que tem começo e fim em dois pontos. Escrevemos AB com um tracinho em cima.
A reta onde o segmento está é chamada de reta suporte.
3Segmentos colineares, consecutivos e adjacentes
Esses três nomes falam sobre como dois segmentos se relacionam.
3.1Colineares
Dois segmentos são colineares quando estão sobre a mesma reta suporte.
Exemplo
Na reta r com os pontos A, B, C e D: AB e CD são colineares.
3.2Consecutivos
Dois segmentos são consecutivos quando têm uma extremidade (ponta) em comum. Eles não precisam estar na mesma reta.
Exemplo
AB e BC são consecutivos, porque compartilham o ponto B.
3.3Adjacentes
São adjacentes os segmentos que são consecutivos e colineares ao mesmo tempo, tendo só a ponta em comum (nenhum ponto de dentro em comum).
Exemplo
Na reta com B, C e D: BD e CD não são adjacentes, pois têm vários pontos em comum além de D.
4Medida de um segmento e segmentos congruentes
Medir um segmento é comparar o seu comprimento com outro segmento escolhido como unidade de medida. O resultado é um número.
Dois segmentos são congruentes quando têm o mesmo comprimento.
📐 Para guardar
med(AB) = 4 · med(MN), ou seja, AB = 4 · MN
Exemplo
Se CD mede 3u e RS mede 3u, então CD e RS são congruentes.
5Ângulo
Ângulo é a abertura formada por duas semirretas que saem do mesmo ponto.
Esse ponto de origem é o vértice, e as semirretas são os lados do ângulo. Escrevemos AÔB (com o vértice no meio) ou usamos uma letra grega: α, β, γ.
Exemplo
No ângulo AÔB, O é o vértice e as semirretas OA e OB são os lados.
5.1Transferidor e o grau
O transferidor é o instrumento que mede ângulos. Ele pode ter 180° ou 360°.
A unidade de medida é o grau (°). Uma volta completa tem 360°, então 1° é 1/360 da circunferência.
Partes do transferidor: limbo (o arco com a escala), linha de fé (o segmento do 0° ao 180°) e centro (o meio da linha de fé).
📐 Para guardar
1° = 1/360 da circunferência
Exemplo
Para medir: encoste o centro no vértice e a linha de fé em um dos lados; leia no limbo onde passa o outro lado.
6Classificação dos ângulos
Os ângulos recebem nomes de acordo com a medida:
Nulo = 0° (os lados ficam um em cima do outro, sem abertura).
Agudo = maior que 0° e menor que 90°.
Reto = exatamente 90° (marcado com o símbolo de quadradinho); vale 1/4 da circunferência.
Obtuso = maior que 90° e menor que 180°.
Raso = 180°, também chamado de ângulo de meia-volta.
De uma volta = 360°.
Exemplo
O canto de uma folha de papel e o canto de uma caixa são ângulos retos (90°).
7Ângulos em figuras geométricas
Polígono é uma figura plana fechada, formada por segmentos de reta (os lados). O ângulo interno fica dentro da figura, entre dois lados.
Medindo com o transferidor, descobrimos duas regras importantes.
📐 Para guardar
Soma dos ângulos internos do triângulo = 180°
Soma dos ângulos internos do quadrilátero = 360°
Exemplo
Um triângulo não pode ter dois ângulos retos, pois 90° + 90° já daria 180° e sobraria 0° para o terceiro.
8Posições relativas entre duas retas
Duas retas podem se posicionar de jeitos diferentes no espaço.
8.1Coplanares
São retas que estão no mesmo plano. Se estão em planos diferentes, não são coplanares.
8.2Paralelas
Retas coplanares que nunca se encontram: mantêm sempre a mesma distância. Símbolo: //.
📐 Para guardar
r // s (lê-se: r é paralela a s)
Exemplo
As cordas de um baixo dão ideia de retas paralelas.
8.3Coincidentes
Retas que têm todos os pontos em comum: uma fica exatamente em cima da outra.
📐 Para guardar
r = s (lê-se: r coincide com s)
8.4Concorrentes
Retas coplanares que têm apenas um ponto em comum, chamado ponto de interseção.
📐 Para guardar
r × s (lê-se: r é concorrente a s)
Exemplo
As lâminas de uma tesoura semiaberta dão ideia de retas concorrentes.
8.5Perpendiculares
São retas concorrentes que formam ângulo reto (90°) entre si. Símbolo: ⊥.
📐 Para guardar
r ⊥ s (lê-se: r é perpendicular a s)
Exemplo
As linhas da bandeira da Finlândia dão ideia de retas perpendiculares.
9Construções geométricas com esquadros
Com o jogo de esquadros (o de 45° e o de 60°) dá para traçar retas paralelas e perpendiculares.
A ideia é sempre a mesma: um esquadro fica fixo servindo de apoio, e o outro desliza sobre ele.
Para paralelas: encoste o esquadro de 45° na reta, apoie o de 60° nele, segure o de 60° e deslize o de 45° para traçar a nova reta. Para perpendiculares: faça o mesmo, mas gire o esquadro de 45° antes de deslizar até o ponto desejado.
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Elementos fundamentais da Geometria: ponto, reta e plano
1Múltipla escolha
Assinale a alternativa correta sobre os elementos fundamentais da Geometria.
Resposta
Alternativa b) A reta tem apenas uma dimensão: o comprimento, que é infinito.
Resolução passo a passo
Vamos analisar cada alternativa com calma.
A letra a está errada, porque o ponto não tem dimensão alguma: não tem comprimento, nem largura, nem espessura.
A letra b está certa. A reta tem só uma dimensão, o comprimento, e ela é infinita: não começa e não termina.
A letra c está errada, pois o plano tem duas dimensões (comprimento e largura) e é ilimitado, ou seja, continua sem fim. A letra d também está errada: retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t) e os pontos por letras maiúsculas (A, B).
2Dissertativo
Observe a descrição: no plano α existe a reta m. O ponto P está sobre a reta m e o ponto Q está no plano α, mas fora da reta m. Complete usando os símbolos ∈ (pertence), ∉ (não pertence) ou ⊂ (está contido).
a) P ____ m b) Q ____ m c) m ____ α d) P ____ α e) Q ____ α
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Resposta
a) P ∈ m b) Q ∉ m c) m ⊂ α d) P ∈ α e) Q ∈ α
Resolução passo a passo
Primeiro entenda os símbolos. Usamos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) para ligar um ponto a uma reta ou a um plano. Usamos ⊂ (está contido) para ligar uma reta a um plano.
a) O ponto P está sobre a reta m, então P pertence a m: P ∈ m.
b) O ponto Q está fora da reta m, então Q não pertence a m: Q ∉ m.
c) A reta m está desenhada dentro do plano α. Como m é uma reta (e não um ponto), escrevemos m ⊂ α.
d) e e) Tanto P quanto Q estão no plano α (P está na reta, que está no plano; Q está no plano, só que fora da reta). Logo, P ∈ α e Q ∈ α.
Reta, semirreta e segmento de reta
3Calcule
Em uma reta r foram marcados quatro pontos distintos: A, B, C e D, nessa ordem.
a) Quantos segmentos de reta diferentes ficam determinados por esses pontos? Escreva o nome de todos eles. b) Quantas semirretas diferentes ficam determinadas por esses quatro pontos?
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Resposta
a) 6 segmentos: AB, AC, AD, BC, BD e CD. b) 8 semirretas.
Resolução passo a passo
a) Um segmento fica determinado por dois pontos. Então vamos combinar os pontos dois a dois, sem repetir.
Começando por A: AB, AC, AD (3 segmentos). Começando por B, sem repetir os que já saíram: BC, BD (2 segmentos). Começando por C: CD (1 segmento). E D não sobra nenhum novo.
Somando: 3 + 2 + 1 = 6 segmentos.
b) Cada ponto marcado na reta é origem de duas semirretas: uma que vai para a direita e outra que vai para a esquerda.
Como são 4 pontos, temos 4 × 2 = 8 semirretas diferentes.
4Múltipla escolha
Qual é a diferença entre uma semirreta e um segmento de reta?
Resposta
Alternativa b) A semirreta tem origem em um ponto e é infinita em um sentido; o segmento tem começo e fim.
Resolução passo a passo
A semirreta é como um raio de luz saindo de uma lanterna: tem um ponto de partida (a origem) e segue sem parar em um único sentido.
O segmento de reta é como um pedaço de barbante: tem duas pontas, chamadas extremidades, e por isso pode ser medido.
A letra a está errada, porque quem é infinito nos dois sentidos é a reta. A letra c troca as definições e a letra d está errada, pois semirreta e segmento são figuras diferentes.
Logo, a resposta correta é a letra b.
Segmentos colineares, consecutivos e adjacentes
5Dissertativo
Na reta s estão os pontos P, Q, R e T, nessa ordem. Classifique cada par de segmentos em somente colineares, colineares e consecutivos (adjacentes) ou não colineares.
a) PQ e QR b) PQ e RT c) PR e RT d) PR e QT
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Resposta
a) Colineares e consecutivos (adjacentes). b) Somente colineares. c) Colineares e consecutivos (adjacentes). d) Somente colineares.
Resolução passo a passo
Todos os pontos estão na mesma reta s, então todos os pares são colineares. Falta ver quais são consecutivos (têm uma extremidade comum) e quais são adjacentes (consecutivos, colineares e sem pontos internos comuns).
a) PQ e QR têm o ponto Q como extremidade comum e não se sobrepõem. São consecutivos, colineares e, portanto, adjacentes.
b) PQ e RT não têm nenhum ponto em comum (entre Q e R há um espaço). Então são somente colineares.
c) PR e RT têm o ponto R como extremidade comum e não se sobrepõem: são adjacentes.
d) PR e QT se sobrepõem no trecho de Q até R e não têm extremidade comum. Logo, são somente colineares.
6Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)Dois segmentos são colineares quando estão sobre a mesma reta suporte.
b)Dois segmentos são consecutivos quando têm uma extremidade comum.
c)Dois segmentos consecutivos sempre estão na mesma reta.
d)Segmentos adjacentes não têm pontos internos em comum.
Resposta
a) V b) V c) F d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. A reta suporte é a reta em que o segmento está desenhado. Se os dois estão na mesma reta suporte, eles são colineares.
b) Verdadeiro. Ter uma extremidade comum é exatamente a definição de segmentos consecutivos.
c) Falso. Dois segmentos podem se encontrar em uma ponta e formar um bico, como no zigue-zague do exercício 12. Nesse caso são consecutivos, mas não colineares.
d) Verdadeiro. Segmentos adjacentes só compartilham a extremidade; eles não se sobrepõem, ou seja, não têm pontos internos em comum.
Medida de um segmento e segmentos congruentes
7Calcule
Tomando o segmento u como unidade de medida, sabe-se que med(AB) = 5 · med(u) e med(CD) = 3 · med(u).
a) Quantas vezes o segmento AB é maior que o segmento CD? Explique. b) Se med(u) = 2 cm, quanto medem AB e CD em centímetros?
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Resposta
a) AB é 5/3 do CD, ou seja, cerca de 1,67 vez o CD (AB tem 2 unidades a mais que CD). b) AB = 10 cm e CD = 6 cm.
Resolução passo a passo
a) O segmento u é a unidade de medida: é como se fosse o "tijolinho" usado para medir.
AB vale 5 tijolinhos e CD vale 3 tijolinhos. Para saber quantas vezes AB é maior, dividimos: 5 ÷ 3 = 5/3 ≈ 1,67.
Então AB é aproximadamente 1,67 vez o CD. Se a pergunta fosse quanto AB tem a mais, faríamos 5 − 3 = 2 unidades a mais.
b) Agora cada tijolinho vale 2 cm. Então: AB = 5 × 2 cm = 10 cm e CD = 3 × 2 cm = 6 cm.
Confira: 10 ÷ 6 ≈ 1,67. Bate com o item a.
8Múltipla escolha
Em uma ilusão de óptica, o segmento MN parece mais curto que o segmento PQ. Ao medir com a régua, um aluno encontrou 7 cm para os dois. O que se pode concluir?
Resposta
Alternativa b) Os segmentos são congruentes, pois têm a mesma medida; a aparência enganou os olhos.
Resolução passo a passo
Nas ilusões de óptica, desenhos ao redor (setas, cores, inclinações) fazem nossos olhos julgarem errado o tamanho das figuras.
Na Geometria, quem decide é a medida. Se MN mede 7 cm e PQ mede 7 cm, os dois têm o mesmo comprimento.
Segmentos com a mesma medida são congruentes, então MN ≡ PQ.
As outras alternativas erram porque confiam na aparência (a) ou dizem coisas falsas: a régua não está errada (c) e podemos comparar segmentos em qualquer posição (d).
Ângulo, elementos e uso do transferidor
9Múltipla escolha
Sobre o transferidor, assinale a alternativa correta.
Resposta
Alternativa b) A linha de fé é o segmento que passa pelas graduações de 0° e 180°.
Resolução passo a passo
O transferidor tem três partes importantes: o centro, a linha de fé e o limbo.
A linha de fé é a linha reta da base, que liga o 0° ao 180°. No meio dela fica o centro, o pontinho que encostamos no vértice do ângulo.
O limbo é a parte curva, o arco onde ficam marcados os graus de 0 a 180.
Por isso, a letra a troca limbo com centro, a letra c troca centro com limbo e a letra d está errada, pois transferidor mede ângulos (em graus), não comprimentos.
10Calcule
Uma circunferência completa corresponde a 360°. Calcule:
a) A quantos graus corresponde 1/4 da circunferência? b) E 1/2 da circunferência? c) E 1/3 da circunferência? d) E 1/6 da circunferência?
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Resposta
a) 90° b) 180° c) 120° d) 60°
Resolução passo a passo
A volta completa vale 360°. Para achar uma parte dela, basta dividir 360 pelo número de pedaços iguais.
a) 1/4 da circunferência: 360° ÷ 4 = 90°. Esse é o ângulo reto, o cantinho do quadrado.
b) 1/2 da circunferência: 360° ÷ 2 = 180°. É o ângulo raso, que parece uma linha reta.
c) 1/3 da circunferência: 360° ÷ 3 = 120°.
d) 1/6 da circunferência: 360° ÷ 6 = 60°. Repare que 6 ângulos de 60° juntos dão a volta toda: 6 × 60 = 360.
Classificação dos ângulos
11Dissertativo
Classifique cada ângulo em nulo, agudo, reto, obtuso, raso ou de uma volta.
a) 90° b) 37° c) 180° d) 0° e) 125° f) 360° g) 89° h) 179°
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Resposta
a) reto b) agudo c) raso d) nulo e) obtuso f) de uma volta g) agudo h) obtuso
Resolução passo a passo
Guarde a régua da classificação: nulo = 0°; agudo = maior que 0° e menor que 90°; reto = exatamente 90°; obtuso = maior que 90° e menor que 180°; raso = 180°; de uma volta = 360°.
a) 90° é exatamente o valor do ângulo reto. b) 37° é menor que 90°, logo é agudo. c) 180° é o ângulo raso (meia-volta). d) 0° é o ângulo nulo, quando os dois lados ficam um sobre o outro.
e) 125° está entre 90° e 180°, então é obtuso. f) 360° é a volta completa: ângulo de uma volta.
g) 89° é quase reto, mas ainda é menor que 90°: é agudo. h) 179° é quase raso, mas ainda é menor que 180°: é obtuso. Perceba que o que vale é comparar com 90° e 180°.
12Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)O ângulo raso mede 180° e é chamado de ângulo de meia-volta.
b)Um ângulo agudo mede mais que 90°.
c)O ângulo reto corresponde a 1/4 da circunferência.
d)O ângulo nulo e o ângulo de uma volta têm o mesmo desenho, mas significados diferentes.
e)Um ângulo de 180° é obtuso.
Resposta
a) V b) F c) V d) V e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O ângulo raso mede 180°, que é metade da volta completa (360° ÷ 2). Por isso o apelido de meia-volta.
b) Falso. O ângulo agudo mede menos que 90°. Quem mede mais que 90° (e menos que 180°) é o obtuso.
c) Verdadeiro. 360° ÷ 4 = 90°, que é a medida do ângulo reto.
d) Verdadeiro. No ângulo nulo (0°) e no de uma volta (360°) os lados ficam sobrepostos, então o desenho parece igual. A diferença é que no de uma volta o lado deu um giro completo.
e) Falso. 180° é o ângulo raso. Obtuso é só o que fica entre 90° e 180°, sem chegar a 180°.
13Calcule
Uma escada apoiada na parede forma com o chão um ângulo de 72°. Um portão aberto forma com o muro um ângulo de 118°.
a) Classifique cada um desses ângulos. b) Qual deles é maior? Quantos graus a mais?
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Resposta
a) O ângulo da escada, 72°, é agudo; o ângulo do portão, 118°, é obtuso. b) O maior é o do portão (118°), com 46° a mais que o da escada.
Resolução passo a passo
a) Compare cada medida com 90° e 180°.
Como 72° é menor que 90°, o ângulo da escada é agudo. Como 118° está entre 90° e 180°, o ângulo do portão é obtuso.
b) Para saber quantos graus a mais, fazemos uma subtração:
118° − 72° = 46°.
Então o ângulo do portão é maior e tem 46° a mais que o da escada.
Ângulos em figuras geométricas
14Calcule
Em um triângulo, dois ângulos internos medem 55° e 70°.
a) Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, calcule a medida do terceiro ângulo. b) Classifique esse terceiro ângulo em agudo, reto ou obtuso.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 55° b) É um ângulo agudo, pois 55° é menor que 90°.
Resolução passo a passo
a) A regra diz que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Primeiro, some os dois ângulos que já conhecemos: 55° + 70° = 125°.
Agora tire esse valor do total: 180° − 125° = 55°. Esse é o terceiro ângulo.
b) Como 55° é menor que 90°, esse ângulo é agudo. (Nesse triângulo, todos os três ângulos são agudos.)
15Múltipla escolha
Em um quadrilátero, três ângulos internos medem 90°, 85° e 100°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, qual é a medida do quarto ângulo?
Resposta
Alternativa b) 85°
Resolução passo a passo
Num quadrilátero, os quatro ângulos internos somam 360°.
Primeiro, some os três ângulos conhecidos: 90° + 85° = 175°; depois 175° + 100° = 275°.
Agora subtraia do total: 360° − 275° = 85°.
Conferindo: 90° + 85° + 100° + 85° = 360°. Está correto, então a resposta é a letra b.
16Calcule
Um retângulo tem os quatro ângulos internos iguais.
a) Quanto mede cada ângulo interno de um retângulo? Mostre o cálculo. b) Como se chama esse tipo de ângulo?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) Cada ângulo interno mede 90°, pois 360° ÷ 4 = 90°. b) Chama-se ângulo reto.
Resolução passo a passo
a) O retângulo é um quadrilátero, ou seja, tem 4 lados e 4 ângulos internos. A soma desses ângulos é sempre 360°.
Como o enunciado diz que os quatro ângulos são iguais, dividimos o total igualmente:
360° ÷ 4 = 90°.
b) Um ângulo de 90° recebe o nome de ângulo reto. É por isso que os cantos de uma folha, de uma porta e de uma janela são "quadradinhos".
Posições relativas entre duas retas
17Dissertativo
Relacione cada posição relativa entre duas retas coplanares à sua descrição.
( ) Têm todos os pontos em comum. ( ) Não têm nenhum ponto em comum. ( ) Têm apenas um ponto em comum. ( ) São concorrentes e formam ângulo de 90°.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
( 3 ) Têm todos os pontos em comum. ( 1 ) Não têm nenhum ponto em comum. ( 2 ) Têm apenas um ponto em comum. ( 4 ) São concorrentes e formam ângulo de 90°.
Resolução passo a passo
Pense em quantos pontos as duas retas dividem.
Se elas têm todos os pontos em comum, na verdade uma está exatamente em cima da outra: são retas coincidentes (3).
Se não têm ponto em comum, por mais que a gente prolongue, são paralelas (1). Exemplo: os trilhos do trem.
Se têm apenas um ponto em comum, elas se cruzam: são concorrentes (2).
E quando o cruzamento forma quatro ângulos de 90°, elas ganham um nome especial: perpendiculares (4). Toda perpendicular é concorrente, mas nem toda concorrente é perpendicular.
18Múltipla escolha
Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação falsa.
Resposta
Alternativa c) Duas retas paralelas têm apenas um ponto em comum. (afirmação falsa)
Resolução passo a passo
Retas paralelas são justamente aquelas que não têm nenhum ponto em comum, por mais que sejam prolongadas.
Quem tem apenas um ponto em comum são as retas concorrentes. Por isso a letra c está errada — e é o que o exercício pede.
As outras estão certas: a letra a é a própria definição de paralelas; a letra b é verdadeira, pois retas perpendiculares se cruzam num ponto (logo são concorrentes) formando 90°.
A letra d também é verdadeira: coplanares significa "que estão no mesmo plano".
19Verdadeiro ou falso
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso).
a)Duas retas concorrentes têm exatamente um ponto em comum.
b)Retas coincidentes são retas diferentes que se cruzam.
c)Se duas retas formam um ângulo de 90°, elas são perpendiculares.
d)Retas paralelas mantêm sempre a mesma distância entre si.
Resposta
a) V b) F c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. Retas concorrentes se cruzam em um único ponto.
b) Falso. Retas coincidentes são retas que ocupam exatamente o mesmo lugar: têm todos os pontos em comum, ou seja, são a mesma reta desenhada duas vezes.
c) Verdadeiro. Cruzar formando 90° é a definição de retas perpendiculares.
d) Verdadeiro. Retas paralelas ficam sempre à mesma distância uma da outra; é por isso que nunca se encontram.
Construções geométricas: retas paralelas e perpendiculares
20Múltipla escolha
Na construção de retas paralelas com o jogo de esquadros, qual é a função de cada esquadro?
Resposta
Alternativa b) Um esquadro fica fixo, servindo de apoio, e o outro desliza sobre ele.
Resolução passo a passo
No jogo de esquadros, cada peça tem um papel diferente.
Um esquadro é o apoio: ele fica parado, preso com a mão, funcionando como um trilho.
O outro esquadro desliza encostado nesse trilho. Como ele escorrega sem girar, a inclinação não muda, e todas as retas traçadas saem paralelas.
Por isso a resposta é a letra b. As outras estão erradas: se os dois se mexessem, a inclinação mudaria (a); esquadros não medem ângulos como o transferidor (c e d).
21Dissertativo
Com auxílio dos esquadros, construa no caderno três retas coplanares m, n e p, sabendo que m e n são paralelas entre si e que p é perpendicular a m. Depois responda: qual é a posição relativa entre as retas p e n? Justifique.
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Resposta
Construção no caderno. A reta p também é perpendicular à reta n. Justificativa: se p forma 90° com m, e n é paralela a m (tem a mesma inclinação de m), então p também forma 90° com n.
Resolução passo a passo
Passo 1. Trace a reta m. Com o jogo de esquadros, deslize e trace a reta n paralela a m.
Passo 2. Agora use o ângulo reto do esquadro apoiado sobre m e trace a reta p, cruzando m em 90°.
Passo 3. Prolongue a reta p com a régua até ela cruzar a reta n. Meça esse novo cruzamento com o transferidor: dá 90°.
Conclusão. Como m e n são paralelas, elas têm a mesma direção. Então qualquer reta que forme 90° com uma delas forma 90° com a outra. Logo, p é perpendicular a n.
Revisão e aplicações (Mergulhando fundo)
22Calcule
Um relógio analógico marca 12h em ponto. Sabendo que uma volta completa do mostrador corresponde a 360°, calcule:
a) o ângulo formado entre dois números seguidos do relógio (por exemplo, entre o 12 e o 1); b) o ângulo formado pelos ponteiros quando o relógio marca 3 horas em ponto, e classifique-o; c) o ângulo formado pelos ponteiros quando o relógio marca 6 horas em ponto, e classifique-o.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 30° b) 90°, que é um ângulo reto. c) 180°, que é um ângulo raso.
Resolução passo a passo
a) O mostrador do relógio tem 12 números que dividem a volta completa em 12 partes iguais.
Então cada parte mede 360° ÷ 12 = 30°. Esse é o ângulo entre dois números seguidos, como entre o 12 e o 1.
b) Às 3 horas em ponto, o ponteiro das horas aponta para o 3 e o dos minutos aponta para o 12. Entre eles há 3 espaços: 3 × 30° = 90°.
Como mede exatamente 90°, é um ângulo reto.
c) Às 6 horas em ponto, um ponteiro aponta para o 6 e o outro para o 12. São 6 espaços: 6 × 30° = 180°.
Os ponteiros ficam alinhados, formando um ângulo raso (meia-volta).
23Calcule
Observe um hexágono regular (polígono de 6 lados iguais e 6 ângulos iguais). Sabendo que a soma dos seus ângulos internos é 720°:
a) calcule a medida de cada ângulo interno; b) esse ângulo é agudo, reto ou obtuso? Justifique.
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Resposta
a) 120° b) É um ângulo obtuso, porque 120° é maior que 90° e menor que 180°.
Resolução passo a passo
a) O hexágono é regular, ou seja, tem os 6 lados iguais e os 6 ângulos internos iguais.
Como a soma de todos eles é 720°, dividimos igualmente pelos 6 ângulos:
720° ÷ 6 = 120°. Cada ângulo interno mede 120°.
b) Compare com 90° e 180°. Como 120° é maior que 90° e menor que 180°, esse ângulo é obtuso.
É por isso que o favo de mel, que tem forma hexagonal, parece ter cantos "abertos", diferentes dos cantos quadrados.
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