Capítulo 7 — Figuras planas e espaciais, plantas baixas e plano cartesiano
Resumo completo
Capítulo 7 — Figuras planas e espaciais, plantas baixas e plano cartesiano
Resumo completo
1Introdução: por que estudar formas geométricas?
Antes de construir uma casa, arquitetos e engenheiros fazem um desenho do projeto. Esse desenho ajuda a planejar onde ficam os quartos, as portas e as janelas.
Quando o desenho mostra os espaços vistos de cima, ele se chama planta baixa. Nela usamos figuras planas (retângulos, quadrados, círculos) para mostrar largura e comprimento dos ambientes.
Já a maquete é um projeto em três dimensões, feito com figuras espaciais como cubos e cilindros. Assim conseguimos mostrar também a altura das estruturas.
Neste capítulo você vai aprender a reconhecer figuras planas e espaciais, conhecer os sólidos e seus elementos, estudar polígonos e usar o plano cartesiano para marcar posições.
Exemplos
Exemplo: para representar um quarto na planta baixa, desenhamos um retângulo. Para representar uma mesa redonda, desenhamos um círculo.
Planta baixa x Maquete
Representação
Dimensões
Figuras usadas
O que mostra
Planta baixa
2 (bidimensional)
Figuras planas
Largura e comprimento, vista de cima
Maquete
3 (tridimensional)
Figuras espaciais
Largura, comprimento e altura
2Figuras geométricas planas e espaciais
As figuras geométricas se dividem em dois grandes grupos: as planas e as espaciais. A diferença está no número de dimensões que cada uma tem.
Saber diferenciar as duas é o primeiro passo para entender toda a geometria do capítulo.
O sólido geométrico é uma porção fechada do espaço, limitada por superfícies planas ou curvas. Em palavras simples: é uma forma "cheia", que ocupa espaço.
Exemplos de sólidos: cilindro, cone, cubo, paralelepípedo, pirâmide e esfera.
Todo sólido formado por superfícies planas tem três elementos importantes: faces, arestas e vértices.
Exemplos
No cubo: são 6 faces (quadrados), 12 arestas e 8 vértices.
Elementos de um sólido
Elemento
O que é
Onde encontrar na caixa
Face
Cada figura geométrica plana do sólido
Cada "parede" da caixa
Aresta
Cada segmento de reta que une duas faces
As dobras/quinas da caixa
Vértice
Cada ponto de encontro de três ou mais arestas
Os "bicos" (cantos) da caixa
3.1Planificação de sólidos geométricos
Planificar um sólido é abri-lo e deixá-lo todo esticado sobre uma superfície plana. É como desmontar uma caixa de pasta de dente pelas dobras.
Ao planificar, aparecem todas as faces do sólido, uma ao lado da outra, como figuras planas.
Essa é uma maneira de representar uma figura de três dimensões usando apenas duas dimensões.
Exemplos
Passo a passo para planificar: 1) pegue uma caixa de pasta de dente; 2) descole as partes coladas; 3) abra pelas dobras; 4) observe: aparecem 6 retângulos — é a planificação do paralelepípedo.
Planificações dos principais sólidos
Sólido
Figuras que aparecem na planificação
Faces / Arestas / Vértices
Paralelepípedo
6 retângulos
6 faces, 12 arestas, 8 vértices
Cubo
6 quadrados iguais
6 faces, 12 arestas, 8 vértices
Pirâmide de base quadrada
4 triângulos + 1 quadrado
5 faces, 8 arestas, 5 vértices
Tetraedro regular
4 triângulos iguais
4 faces, 6 arestas, 4 vértices
Cilindro reto
1 retângulo + 2 círculos (as bases)
Não tem vértices
Cone circular reto
1 setor de círculo + 1 círculo (base)
Tem 1 vértice
4Linhas poligonais e polígonos
A linha poligonal é formada por segmentos de reta que estão no mesmo plano, um seguido do outro, e que não ficam alinhados em uma reta só. Esses segmentos não se cruzam.
Cada ponta de um segmento pertence, no máximo, a dois segmentos.
A linha poligonal pode ser aberta (as pontas do primeiro e do último segmento não se encontram) ou fechada (as pontas se encontram).
Quando juntamos uma linha poligonal fechada com a região de dentro dela, temos um polígono.
Exemplos
Uma linha que parece a letra M desenhada com traços retos é uma linha poligonal aberta.
Um pentágono desenhado é uma linha poligonal fechada e, junto com sua parte interna, forma um polígono.
Tipos de linha poligonal
Tipo
Característica
Forma um polígono?
Aberta
As pontas do primeiro e do último segmento NÃO coincidem
Não
Fechada
As pontas do primeiro e do último segmento coincidem
Sim (junto com a região interna)
4.1Polígonos convexos e côncavos
Para saber se um polígono é convexo, faça um teste: escolha dois pontos quaisquer dentro dele e ligue-os com um segmento de reta.
Se o segmento sempre ficar inteiro dentro do polígono, ele é convexo.
Se existirem dois pontos cujo segmento "sai" para fora da figura, o polígono é côncavo (também chamado de não convexo). Ele tem um "bico para dentro".
A partir daqui estudamos principalmente os polígonos convexos, como o triângulo, o quadrado e o retângulo.
Exemplos
O triângulo é convexo: qualquer segmento entre dois pontos internos fica dentro dele.
Uma figura em forma de bandeirinha com um "V" cortado na base é côncava, pois o segmento entre dois pontos pode passar por fora.
4.2Elementos de um polígono
Todo polígono tem quatro elementos principais: lados, vértices, diagonais e ângulos.
O lado é cada segmento do contorno. O vértice é o ponto onde dois lados se encontram. A diagonal liga dois vértices que não são vizinhos.
O ângulo interno fica dentro do polígono. O ângulo externo é o ângulo vizinho ao interno, formado pelo prolongamento de um lado.
Exemplos
No pentágono ABCDE: os lados são AB, BC, CD, DE e EA; os vértices são A, B, C, D e E; as diagonais são AC, AD, BD, BE e CE; os ângulos internos são Â, B̂, Ĉ, D̂ e Ê.
Elementos do polígono ABCDE
Elemento
Definição
No pentágono ABCDE
Lado
Segmento que forma o contorno
AB, BC, CD, DE, EA
Vértice
Encontro de dois lados consecutivos
A, B, C, D, E
Diagonal
Une dois vértices não consecutivos
AC, AD, BD, BE, CE
Ângulo interno
Formado por três vértices consecutivos, por dentro
Â, B̂, Ĉ, D̂, Ê
Ângulo externo
Adjacente e suplementar ao interno
F̂ (exemplo da figura)
4.3Classificação dos polígonos pelo número de lados
A palavra polígono vem do grego e quer dizer "que possui muitos lados". Cada polígono recebe um nome de acordo com o número de lados que tem.
Atenção: o número de lados é sempre igual ao número de vértices e ao número de ângulos internos.
Quando um polígono tem todos os lados congruentes (mesma medida) e todos os ângulos internos iguais, ele é chamado de polígono regular. Polígonos com mais de vinte lados não têm nomes especiais.
📐 Para guardar
Número de lados = número de vértices = número de ângulos internos
Exemplos
O quadrado é um polígono regular: seus 4 lados têm a mesma medida e seus 4 ângulos são retos (90°).
Quantos vértices tem um heptágono? Heptágono tem 7 lados, então tem 7 vértices.
Nomes dos polígonos
Lados
Nome
Lados
Nome
3
Triângulo
12
Dodecágono
4
Quadrilátero
13
Tridecágono
5
Pentágono
14
Tetradecágono
6
Hexágono
15
Pentadecágono
7
Heptágono
16
Hexadecágono
8
Octógono
17
Heptadecágono
9
Eneágono
18
Octodecágono
10
Decágono
19
Eneadecágono
11
Undecágono
20
Icoságono
5Triângulos
Os triângulos são polígonos que possuem três lados. Eles também têm 3 vértices e 3 ângulos internos.
No triângulo ABC: AB, BC e CA são os lados; A, B e C são os vértices; Â, B̂ e Ĉ são os ângulos.
Uma propriedade muito importante: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
Os triângulos podem ser classificados de dois jeitos: pelas medidas dos lados e pelas medidas dos ângulos.
📐 Para guardar
Soma dos ângulos internos de um triângulo = 180°
Terceiro ângulo = 180° − (primeiro ângulo + segundo ângulo)
Exemplos
Exemplo 1: um triângulo tem ângulos de 30° e 45°. Qual é o terceiro?
Passo 1: some os conhecidos → 30° + 45° = 75°.
Passo 2: subtraia de 180° → 180° − 75° = 105°.
Resposta: o terceiro ângulo mede 105°.
Exemplo 2: triângulo com 70° e 50°.
70° + 50° = 120° → 180° − 120° = 60°. O terceiro ângulo é 60°.
Exemplo 3: triângulo com 60° e 60° → 180° − 120° = 60°. Os três ângulos são iguais: é um triângulo equilátero (e acutângulo).
Exemplo 4: um triângulo retângulo tem um ângulo de 90°. Os outros dois somam 180° − 90° = 90°. Podem ser, por exemplo, 45° e 45°, ou 30° e 60°.
Classificação quanto às medidas dos LADOS
Nome
Característica
Relação entre os lados
Equilátero
Os três lados são congruentes (mesma medida)
med(AB) = med(BC) = med(AC)
Isósceles
Tem pelo menos dois lados congruentes
med(AB) = med(BC)
Escaleno
Os três lados têm medidas diferentes
med(AB) ≠ med(BC) ≠ med(AC)
Classificação quanto às medidas dos ÂNGULOS
Nome
Característica
Acutângulo
Tem os três ângulos agudos (menores que 90°)
Retângulo
Tem um ângulo reto (igual a 90°)
Obtusângulo
Tem um ângulo obtuso (maior que 90°)
Exemplos de classificação dupla
Ângulos do triângulo
Quanto aos ângulos
Soma
70°, 50°, 60°
Acutângulo
180°
90°, 55°, 35°
Retângulo
180°
25°, 130°, 25°
Obtusângulo
180°
6Quadriláteros
Os quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Alguns deles recebem nomes especiais e formam dois grupos: os trapézios e os paralelogramos.
A diferença entre os grupos está no número de pares de lados paralelos.
Existem ainda quadriláteros que não são nem trapézio nem paralelogramo: são os "outros quadriláteros".
Os trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de lados paralelos.
Eles se dividem em três tipos, de acordo com os lados que não são paralelos e com os ângulos.
Exemplos
No trapézio isósceles ABCD, os lados BC e AD são paralelos e os dois lados inclinados têm a mesma medida.
Tipos de trapézio
Tipo
Característica
Trapézio isósceles
Os lados não paralelos são congruentes (mesma medida)
Trapézio retângulo
Possui dois ângulos retos (90°)
Trapézio escaleno
Os lados não paralelos não são congruentes
6.2Paralelogramos
Os paralelogramos são quadriláteros com dois pares de lados paralelos.
Neles, os lados opostos têm a mesma medida e os ângulos opostos também são iguais.
Dependendo das medidas dos lados e dos ângulos, o paralelogramo recebe um nome especial: retângulo, losango ou quadrado.
Atenção: o quadrado é ao mesmo tempo retângulo e losango, porque tem os quatro ângulos iguais E os quatro lados iguais.
Exemplos
Verdadeiro ou falso? Todo quadrado é um retângulo → Verdadeiro (o quadrado tem os 4 ângulos retos).
Verdadeiro ou falso? Todo paralelogramo é um retângulo → Falso (um paralelogramo inclinado não tem ângulos retos).
Verdadeiro ou falso? Todo paralelogramo é um quadrilátero → Verdadeiro (todo paralelogramo tem 4 lados).
Tipos de paralelogramo
Nome
Lados
Ângulos
Paralelogramo qualquer
Lados opostos iguais
Ângulos opostos iguais (não são retos)
Retângulo
Lados opostos iguais
Os quatro ângulos têm a mesma medida (90°)
Losango
Os quatro lados têm a mesma medida
Ângulos opostos iguais
Quadrado
Os quatro lados têm a mesma medida
Os quatro ângulos são retos (90°)
7Poliedros e a Relação de Euler
Todo sólido geométrico cujas faces são formadas apenas por polígonos é chamado de poliedro.
O cubo, o paralelepípedo, a pirâmide e os prismas são poliedros. Já a esfera, o cone e o cilindro não são, pois têm superfícies curvas.
Assim como os polígonos, os poliedros podem ser convexos ou côncavos. Se um segmento entre dois pontos internos sempre fica dentro do sólido, ele é convexo. Se algum segmento sai para fora, é côncavo.
7.1Relação de Euler
Existe uma relação matemática que vale para todo poliedro convexo. Ela liga o número de arestas (A), o número de vértices (V) e o número de faces (F).
Essa relação se chama Relação de Euler. Com ela, se você souber dois desses números, descobre o terceiro sem precisar contar.
Uma forma fácil de lembrar: arestas mais 2 é igual a vértices mais faces.
📐 Para guardar
A + 2 = V + F
A = V + F − 2
V = A + 2 − F
F = A + 2 − V
Exemplos
Exemplo 1 (verificando com o cubo): V = 8, F = 6, A = 12.
A + 2 = 12 + 2 = 14
V + F = 8 + 6 = 14 ✔ A relação funciona.
Exemplo 2: quantas arestas tem um poliedro de 6 faces e 8 vértices?
A + 2 = V + F → A + 2 = 8 + 6 = 14 → A = 14 − 2 = 12 arestas.
Exemplo 3: quantos vértices tem um poliedro com 30 arestas e 12 faces?
A + 2 = V + F → 30 + 2 = V + 12 → 32 = V + 12 → V = 32 − 12 = 20 vértices.
Verificando a Relação de Euler
Poliedro
V (vértices)
F (faces)
A (arestas)
A + 2
V + F
Prisma triangular
6
5
9
11
11
Cubo
8
6
12
14
14
Bipirâmide (figura 3)
6
8
12
14
14
Pirâmide hexagonal
7
7
12
14
14
8Plantas baixas e vistas
A planta baixa é o desenho de um ambiente visto de cima, como se você olhasse a casa sem o telhado. Ela mostra onde ficam os cômodos, as portas e as janelas.
Na Arquitetura e na Engenharia, a planta baixa funciona como o "mapa" de uma construção. Por ela sabemos a posição e as medidas de paredes, portas, janelas e móveis.
Cuidado com a palavra planta: aqui ela vem da Geometria descritiva e nada tem a ver com a planta da Botânica.
Na planta baixa não se usa perspectiva. Consideram-se apenas as medidas relativas dos objetos, as posições de uns em relação aos outros e o formato de suas vistas de cima.
Exemplos
Um cubo desenhado em perspectiva parece uma caixa 3D. O mesmo cubo visto de cima (vista aérea) é apenas um quadrado.
Numa sala de aula vista de cima, a lousa aparece só como um retângulo estreito, mostrando sua espessura.
Maneiras de representar um sólido no plano
Representação
Como é
Exemplo com o cubo
Planificação
Superfície aberta, com todas as faces conectadas
6 quadrados em forma de cruz
Perspectiva
Desenho que dá ideia de profundidade
Desenho do cubo em 3D no papel
Vista aérea (superior)
Como se olhássemos de cima
Um único quadrado
8.1Curiosidade: Geometria projetiva e Geometria descritiva
A Geometria projetiva nasceu quando pintores quiseram desenhar quadros mais realistas. Eles criaram o ponto de fuga e a perspectiva. Ela lida com o mundo como o vemos: por exemplo, os trilhos do trem parecem se encontrar no horizonte, mesmo sendo paralelos.
A Geometria descritiva foi criada por Gaspar Monge, matemático francês do século XVIII. Ele projetava fortes militares e precisava desenhar seus projetos para que pudessem ser construídos em qualquer lugar.
O objetivo dela é resolver problemas de três dimensões usando apenas duas dimensões, representando todas as vistas de uma figura espacial no plano.
9Plano cartesiano
Chamamos de plano cartesiano qualquer plano onde traçamos dois eixos numerados e perpendiculares entre si (que formam ângulo de 90°).
O ponto onde os dois eixos se cruzam se chama origem, e suas coordenadas são x = 0 e y = 0.
O eixo horizontal é o eixo x (eixo das abscissas). O eixo vertical é o eixo y (eixo das ordenadas).
Para marcar um ponto, escolha um número no eixo x (a abscissa) e um número no eixo y (a ordenada). Trace uma reta vertical sobre a abscissa e uma reta horizontal sobre a ordenada: o cruzamento delas é o ponto procurado.
Dica importante: ao numerar o plano numa malha quadriculada, numeramos as linhas, e não os espaços entre elas.
📐 Para guardar
Origem: x = 0 e y = 0
Ponto sobre o eixo x → ordenada = 0
Ponto sobre o eixo y → abscissa = 0
Exemplos
Ponto A com x = 0 e y = 9: fica em cima do eixo vertical (eixo y), na altura 9.
Ponto B com x = 9 e y = 0: fica em cima do eixo horizontal (eixo x), na marca 9.
Ponto C com x = y = 9: ande 9 para a direita e 9 para cima.
Vocabulário do plano cartesiano
Nome
Outro nome
Direção
Significado
Abscissa
Eixo x
Horizontal
Quanto andar para a direita
Ordenada
Eixo y
Vertical
Quanto subir
Origem
Ponto (0, 0)
Cruzamento dos eixos
Ponto de partida
9.1Pares ordenados
Para não precisar escrever "abscissa 2 e ordenada 3" toda hora, os matemáticos criaram uma convenção: escrever os dois números entre parênteses, separados por vírgula.
Esse par de números se chama par ordenado e é escrito na forma (a, b).
O primeiro número é sempre a abscissa (valor de x). O segundo número é sempre a ordenada (valor de y). A ordem importa: (2, 3) é diferente de (3, 2)!
📐 Para guardar
Par ordenado: (a, b), onde a = abscissa (x) e b = ordenada (y)
Exemplos
No par ordenado (2, 3): 2 é a abscissa do ponto e 3 é a ordenada do ponto.
Como ler um ponto do gráfico: o ponto A está na coluna 3 e na altura 4 → A(3, 4).
Ponto D está encostado no eixo y, na altura 2 → D(0, 2).
Ponto H está em cima do eixo x, na marca 9 → H(9, 0).
Exemplos de leitura de pares ordenados
Ponto
Abscissa (x)
Ordenada (y)
Par ordenado
A
3
4
(3, 4)
B
6
3
(6, 3)
D
0
2
(0, 2)
E
2
8
(2, 8)
H
9
0
(9, 0)
9.2Algoritmos no plano cartesiano
Algoritmo é uma sequência determinada de passos que deve ser seguida para obter um resultado.
Você já usa algoritmos sem perceber: os passos da conta de dividir formam um algoritmo. Qualquer pessoa que siga os mesmos passos chega ao mesmo resultado.
No plano cartesiano, podemos escrever um algoritmo para marcar um ponto. Se alguém trocar a ordem dos passos ou errar um deles, o ponto sai no lugar errado.
Exemplos
Algoritmo para marcar o ponto A:
1) Trace os eixos perpendiculares na malha e marque a origem (0, 0).
2) Numere as abscissas e as ordenadas nos seus respectivos eixos.
3) Partindo da origem, conte 4 unidades para a direita.
4) Depois conte 3 unidades para cima e marque o ponto A.
Resultado: A(4, 3).
Erros comuns nesse algoritmo: colocar a origem no lugar errado (não no cruzamento dos eixos); trocar o nome dos eixos (escrever x no eixo vertical); contar as unidades erradas (5 para a direita em vez de 4).
9.3Polígonos no plano cartesiano
Uma grande vantagem do plano cartesiano é transformar problemas de geometria em problemas com números.
Marcando vários pontos e unindo-os com segmentos de reta, formamos polígonos. Depois podemos dizer quais são as coordenadas dos vértices desse polígono.
Isso ajuda a estudar as medidas das figuras usando apenas contas, e não só desenhos.
Exemplos
Exemplo: marque os pontos (0, 2), (1, 3), (3, 1) e (2, 0) e una-os formando um quadrilátero convexo. Todos os lados têm o mesmo "passo" (1 para a direita e 1 para cima), e os ângulos são retos: o resultado é um quadrado.
Exemplo: se A(0, 3) e B(1, 4) são vértices, para formar um paralelogramo de lado AB podemos escolher, por exemplo, C(4, 4) e D(3, 3): assim AB fica paralelo a DC e AD fica paralelo a BC.
10Para ir além: o tangram e René Descartes
O tangram é um quebra-cabeça chinês formado por sete figuras geométricas planas: 5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Com essas peças é possível montar mais de 1000 figuras diferentes.
Ele foi criado na China, no século XVIII, e a partir de 1804 se espalhou pela Europa pela navegação marítima. Em 1813 já havia livros com 334 formas e problemas.
Já René Descartes foi um matemático, físico e filósofo francês do século XVII, conhecido como pai da Matemática moderna. Ele transformou problemas de geometria em problemas numéricos usando um sistema de coordenadas.
É em homenagem a Descartes que chamamos o plano com sistema de coordenadas de plano cartesiano.
Exemplos
Com as 7 peças do tangram é possível montar a figura de um gato, um pássaro ou uma pessoa correndo.
Peças do tangram
Peça
Quantidade
Triângulo
5
Quadrado
1
Paralelogramo
1
Total
7
11Resumo final: o que você estudou neste capítulo
Este capítulo trouxe os principais conceitos de geometria do trimestre. Use esta lista para revisar antes da prova e conferir se você lembra de cada item.
Se algum tópico ainda estiver difícil, volte à seção correspondente e refaça os exemplos.
📐 Para guardar
Soma dos ângulos internos do triângulo = 180°
Relação de Euler: A + 2 = V + F
Par ordenado: (abscissa, ordenada) = (x, y)
Checklist de revisão
Tópico
Ideia-chave
Figuras planas e espaciais
Planas = 2 dimensões; espaciais = 3 dimensões
Sólidos e seus elementos
Face, aresta e vértice
Planificação
Abrir o sólido e ver suas faces como figuras planas
Relação de Euler
A + 2 = V + F (só para poliedros convexos)
Polígonos
Classificação pelo número de lados; convexos e côncavos; regulares
Trapézios (1 par paralelo) e paralelogramos (2 pares paralelos)
Plantas baixas
Desenho visto de cima, sem perspectiva
Plano cartesiano
Eixo x (abscissa), eixo y (ordenada), origem (0, 0)
Algoritmos e coordenadas
Sequência de passos para marcar pontos e formar polígonos
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Figuras geométricas planas e espaciais
1Dissertativo
Classifique cada figura em plana (duas dimensões) ou espacial (três dimensões): a) um quadrado desenhado no caderno b) uma bola de futebol c) uma lata de refrigerante d) um triângulo recortado em papel e) um dado de jogo f) a tampa redonda de uma panela, vista de cima
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) plana; b) espacial; c) espacial; d) plana; e) espacial; f) plana
Resolução passo a passo
Primeiro, vamos combinar uma regra bem simples. Uma figura plana tem só duas medidas: comprimento e largura. Ela cabe "deitada" numa folha de papel.
Já uma figura espacial tem três medidas: comprimento, largura e altura. Ela ocupa espaço, dá para pegar com a mão.
a) O quadrado desenhado no caderno só tem comprimento e largura. É plana.
b) A bola de futebol ocupa espaço e é cheia por dentro. É espacial (lembra uma esfera).
c) A lata de refrigerante também ocupa espaço. É espacial (lembra um cilindro).
d) O triângulo recortado em papel é fininho, só tem duas dimensões. É plana.
e) O dado tem altura, largura e comprimento. É espacial (é um cubo).
f) Cuidado com a pegadinha! A panela é espacial, mas a tampa vista de cima é o desenho de um círculo. Esse desenho é plano.
2Múltipla escolha
Qual alternativa apresenta apenas figuras geométricas espaciais?
Resposta
Alternativa a) Cubo, cilindro e esfera
Resolução passo a passo
Vamos testar cada alternativa procurando só figuras espaciais (as que ocupam espaço).
a) Cubo, cilindro e esfera: todos os três são sólidos, ocupam espaço. Essa alternativa serve!
b) Círculo, quadrado e pentágono: os três são figuras planas. Não serve.
c) Cone e pirâmide são espaciais, mas o losango é plano. Não serve.
d) Prisma é espacial, mas retângulo e trapézio são planos. Não serve.
Portanto, a resposta é a alternativa a.
3Dissertativo
Escreva o nome de um objeto do seu dia a dia que lembre cada figura espacial a seguir: a) cilindro b) esfera c) cone d) paralelepípedo e) pirâmide
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) lata de milho (ou copo, rolo de papel); b) bola de futebol (ou laranja, bola de gude); c) casquinha de sorvete (ou chapéu de festa, cone de trânsito); d) caixa de sapatos (ou caixa de pasta de dente, tijolo); e) pirâmide do Egito (ou barraca de camping em forma de pirâmide, embalagem de bombom triangular)
Resolução passo a passo
A ideia aqui é olhar em volta e comparar o formato dos objetos com cada sólido.
a) O cilindro tem duas bases redondas e um corpo reto. A lata de milho é exatamente assim.
b) A esfera é redonda por todos os lados. A bola de futebol é o melhor exemplo.
c) O cone tem uma base redonda e termina numa ponta. A casquinha de sorvete lembra isso.
d) O paralelepípedo tem 6 faces retangulares. A caixa de sapatos é assim.
e) A pirâmide tem uma base e faces triangulares que se encontram numa ponta. As pirâmides do Egito são o exemplo mais famoso.
Qualquer outro objeto com o mesmo formato também está correto.
4Dissertativo
Explique com suas palavras a diferença entre uma figura bidimensional e uma figura tridimensional. Dê um exemplo de cada uma.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Uma figura bidimensional tem duas dimensões (comprimento e largura) e é "chata", como o quadrado. Uma figura tridimensional tem três dimensões (comprimento, largura e altura) e ocupa espaço, como o cubo.
Resolução passo a passo
A palavra dimensão quer dizer "medida que a figura tem".
Uma figura bidimensional ("bi" = dois) tem apenas duas medidas: comprimento e largura. Ela é toda plana, cabe desenhada no papel. Exemplo: um quadrado.
Uma figura tridimensional ("tri" = três) tem três medidas: comprimento, largura e altura. Por isso ela ocupa espaço e a gente consegue segurar. Exemplo: um cubo (o dado).
Uma dica boa: o quadrado é o desenho de uma das faces do dado. O dado é o objeto inteiro, com "grossura".
5Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)A esfera é uma figura plana.
b)O quadrado tem apenas comprimento e largura.
c)Um prisma hexagonal é uma figura espacial.
d)O círculo possui altura.
e)O cubo é um tipo de prisma.
Resposta
a) F; b) V; c) V; d) F; e) V
Resolução passo a passo
a) Falso. A esfera ocupa espaço, então é uma figura espacial, não plana.
b) Verdadeiro. O quadrado é plano: só tem comprimento e largura.
c) Verdadeiro. O prisma hexagonal é um sólido, tem três dimensões.
d) Falso. O círculo é plano, não tem altura.
e) Verdadeiro. O cubo é um prisma especial: suas duas bases são quadrados iguais e as faces laterais também são quadrados.
Sólidos geométricos, seus elementos e planificações
6Dissertativo
Complete as frases sobre os elementos de um sólido geométrico: a) Cada figura plana que forma a superfície do sólido é uma ______. b) Cada segmento de reta que une duas faces é uma ______. c) Cada ponto de encontro de três ou mais arestas é um ______.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) face; b) aresta; c) vértice
Resolução passo a passo
Pense em uma caixa de sapatos na sua mão.
a) Cada "parede" plana da caixa é uma face. A caixa tem 6 faces.
b) O "cantinho comprido" onde duas faces se encontram é uma aresta. É sempre um segmento de reta.
c) A "pontinha" onde três ou mais arestas se encontram é um vértice. É um ponto.
Dica para não esquecer: face é superfície, aresta é linha, vértice é ponto.
7Múltipla escolha
Ao planificar um sólido, Bia obteve um retângulo e dois círculos. De qual sólido ela partiu?
Resposta
Alternativa b) Cilindro reto
Resolução passo a passo
Planificar é abrir o sólido e deixá-lo todo plano, como quando desmontamos uma caixa.
Se Bia obteve dois círculos, eles são as duas bases do sólido. Só o cilindro tem duas bases redondas iguais.
O retângulo é a lateral do cilindro. Se você enrolar um retângulo, ele vira o "tubo" da lata.
As outras opções não servem: o cone dá 1 círculo e 1 setor; o prisma triangular dá 2 triângulos e 3 retângulos; a esfera nem tem planificação plana exata. Resposta: b.
8Calcule
Escreva o número de faces, de vértices e de arestas de cada sólido: a) cubo b) paralelepípedo c) tetraedro regular d) pirâmide de base quadrada
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Resposta
a) cubo: 6 faces, 8 vértices, 12 arestas; b) paralelepípedo: 6 faces, 8 vértices, 12 arestas; c) tetraedro regular: 4 faces, 4 vértices, 6 arestas; d) pirâmide de base quadrada: 5 faces, 5 vértices, 8 arestas
Resolução passo a passo
a) No cubo, conte as faces: em cima, embaixo e as 4 laterais = 6 faces. Os cantos: 4 em cima e 4 embaixo = 8 vértices. As arestas: 4 em cima, 4 embaixo e 4 em pé = 12 arestas.
b) O paralelepípedo (caixa de sapatos) tem o mesmo formato de "caixa" do cubo, só que as faces são retângulos. Então os números são iguais: 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
c) O tetraedro regular é feito de 4 triângulos iguais: 1 base + 3 laterais = 4 faces. Ele tem 3 vértices na base e 1 no topo = 4 vértices. As arestas: 3 da base + 3 laterais = 6 arestas.
d) Na pirâmide de base quadrada: 1 quadrado da base + 4 triângulos = 5 faces. Vértices: 4 da base + 1 no topo (o ápice) = 5. Arestas: 4 do quadrado + 4 que sobem até a ponta = 8.
9Dissertativo
Uma planificação é formada por 4 triângulos iguais e 1 quadrado. Qual sólido pode ser montado com ela? Justifique sua resposta.
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Resposta
Uma pirâmide de base quadrada (pirâmide quadrangular).
Resolução passo a passo
Vamos ler as peças da planificação. Há 1 quadrado: essa peça só pode ser a base do sólido.
Há também 4 triângulos iguais. Cada triângulo se encaixa em um lado do quadrado, porque o quadrado tem 4 lados.
Ao levantar os 4 triângulos, as pontas se encontram todas em um único ponto lá em cima. Esse ponto é o vértice do topo.
O sólido formado é a pirâmide de base quadrada. Conferindo: ela tem 5 faces (1 quadrado + 4 triângulos), exatamente o que a planificação mostra.
10Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)A base do cone circular reto é um círculo.
b)O cubo planificado mostra seis quadrados iguais.
c)O tetraedro regular tem 5 faces.
d)O paralelepípedo tem todas as faces retangulares.
e)A planificação do cilindro tem dois triângulos.
Resposta
a) V; b) V; c) F; d) V; e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O cone circular reto tem base em forma de círculo.
b) Verdadeiro. Ao abrir um cubo, aparecem 6 quadrados do mesmo tamanho.
c) Falso. O tetraedro regular tem 4 faces triangulares, e não 5 (a palavra tetra já indica quatro).
d) Verdadeiro. No paralelepípedo, todas as 6 faces são retângulos (o quadrado também é um retângulo).
e) Falso. A planificação do cilindro tem 2 círculos e 1 retângulo, nunca triângulos.
11Dissertativo
Pedro abriu uma caixa de pasta de dente e a deixou totalmente plana. Quantas figuras planas ele obteve e qual é o formato delas? Que sólido essa caixa representa?
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Resposta
Ele obteve 6 figuras planas, todas retangulares. A caixa representa um paralelepípedo (também chamado de bloco retangular).
Resolução passo a passo
Imagine a caixa de pasta de dente inteira. Ela tem faces em cima, embaixo, na frente, atrás e nas duas laterais.
Contando: 2 + 2 + 2 = 6 faces. Quando Pedro abre a caixa e deixa tudo plano, cada face vira uma figura plana.
Todas essas faces têm formato de retângulo (as faces opostas são iguais duas a duas).
Um sólido com 6 faces retangulares é o paralelepípedo. Ele também tem 8 vértices e 12 arestas.
Linhas poligonais e polígonos
12Dissertativo
Explique a diferença entre uma linha poligonal aberta e uma linha poligonal fechada. Faça um desenho de cada uma no seu caderno.
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Resposta
Na linha poligonal aberta, o ponto de início e o ponto de chegada são diferentes (ela não se fecha). Na linha poligonal fechada, o último ponto coincide com o primeiro, cercando uma região.
Resolução passo a passo
Uma linha poligonal é feita de segmentos de reta ligados uns nos outros, um após o outro. Nada de curvas!
Se você percorre a linha e termina em um lugar diferente de onde começou, ela é aberta. Desenhe, por exemplo, um zigue-zague parecido com a letra M.
Se o último segmento volta exatamente ao ponto de partida, ela é fechada. Ela cerca um pedaço do papel, como o contorno de um triângulo ou de um quadrado.
No caderno: desenhe um zigue-zague com 3 segmentos (aberta) e, ao lado, um triângulo (fechada).
13Múltipla escolha
Qual afirmação define corretamente um polígono?
Resposta
Alternativa b) É a reunião de uma linha poligonal fechada com a sua região interna.
Resolução passo a passo
Um polígono é formado por dois pedaços: o contorno (uma linha poligonal fechada e simples) mais a região de dentro.
a) Está errada: se tem lados curvos, não é polígono. Os lados precisam ser segmentos de reta.
c) Está errada: linha aberta não fecha região nenhuma.
d) Está errada: polígono é figura plana, não espacial.
Por isso, a definição correta é a da alternativa b.
14Dissertativo
Observe o polígono ABCDE (um pentágono). Responda: a) Quantos lados ele tem? b) Escreva os nomes dos seus vértices. c) Quantas diagonais partem do vértice A? Quais são? d) Quantos ângulos internos ele possui?
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Resposta
a) 5 lados; b) A, B, C, D e E; c) 2 diagonais: AC e AD; d) 5 ângulos internos
Resolução passo a passo
a) O nome pentágono já entrega: penta significa cinco. Então ele tem 5 lados: AB, BC, CD, DE e EA.
b) Os vértices são os cantos, e cada letra do nome é um vértice: A, B, C, D e E.
c) Diagonal é o segmento que liga dois vértices que não são vizinhos. De A, os vizinhos são B e E (ligados por lados). Sobram C e D. Logo, as diagonais são AC e AD: são 2.
d) Em todo polígono, o número de ângulos internos é igual ao número de lados. Como são 5 lados, são 5 ângulos internos.
15Dissertativo
Escreva o nome do polígono que tem: a) 3 lados b) 6 lados c) 9 lados d) 12 lados e) 20 lados
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Resposta
a) triângulo; b) hexágono; c) eneágono (ou nonágono); d) dodecágono; e) icoságono
Resolução passo a passo
Os nomes dos polígonos vêm do número de lados. Vale a pena decorar essa lista.
a) 3 lados → triângulo (também chamado trilátero).
b) 6 lados → hexágono (hexa = seis).
c) 9 lados → eneágono (enea = nove); alguns livros escrevem nonágono.
d) 12 lados → dodecágono (dodeca = doze).
e) 20 lados → icoságono (icosa = vinte).
16Dissertativo
Responda: a) Quantos vértices tem um octógono? b) Quantos lados tem um decágono? c) Quantos ângulos internos tem um heptágono? d) O que é um polígono regular? Dê um exemplo.
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Resposta
a) 8 vértices; b) 10 lados; c) 7 ângulos internos; d) É o polígono que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos com a mesma medida. Exemplos: quadrado, triângulo equilátero.
Resolução passo a passo
Guarde esta ideia: em qualquer polígono, o número de lados, de vértices e de ângulos internos é sempre o mesmo.
a) O octógono tem 8 lados, então tem 8 vértices.
b) O decágono tem 10 vértices, então tem 10 lados.
c) O heptágono tem 7 lados, então tem 7 ângulos internos.
d) Um polígono regular precisa de duas coisas ao mesmo tempo: lados todos iguais e ângulos todos iguais. O quadrado é regular (4 lados iguais e 4 ângulos de 90°). O triângulo equilátero também é. Já o retângulo comprido não é regular, porque os lados têm medidas diferentes.
17Múltipla escolha
Uma figura tem um "bico para dentro", de modo que existem dois pontos internos C e D em que o segmento CD sai da região interna. Essa figura é um polígono:
Resposta
Alternativa b) côncavo (não convexo)
Resolução passo a passo
Existe um teste simples. Em um polígono convexo, se você escolher dois pontos quaisquer de dentro e ligar com um segmento, esse segmento fica todo dentro da figura.
No enunciado, o segmento CD sai da região interna. Então o teste falhou.
Isso acontece porque a figura tem um "bico para dentro", ou seja, um ângulo interno maior que 180°.
Uma figura assim é chamada de côncava (ou não convexa). Resposta: b.
Triângulos
18Dissertativo
Classifique cada triângulo quanto aos lados: a) lados de 5 cm, 5 cm e 5 cm b) lados de 4 cm, 4 cm e 7 cm c) lados de 3 cm, 6 cm e 8 cm
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Resposta
a) equilátero; b) isósceles; c) escaleno
Resolução passo a passo
A classificação quanto aos lados depende só de comparar as medidas.
a) 5 cm, 5 cm e 5 cm: os três lados são iguais. É equilátero.
b) 4 cm, 4 cm e 7 cm: dois lados iguais e um diferente. É isósceles.
c) 3 cm, 6 cm e 8 cm: os três lados são diferentes. É escaleno.
Uma observação importante: todo triângulo equilátero também pode ser chamado de isósceles, porque ele tem (pelo menos) dois lados iguais.
19Calcule
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, calcule o terceiro ângulo e classifique cada triângulo quanto aos ângulos: a) 40° e 65° b) 90° e 35° c) 110° e 25°
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 75°; acutângulo. b) 55°; retângulo. c) 45°; obtusângulo.
Resolução passo a passo
A regra usada é sempre a mesma: os três ângulos internos somam 180°. Então o terceiro ângulo é 180° menos a soma dos dois dados.
a) 40° + 65° = 105°. Terceiro ângulo: 180° − 105° = 75°. Os três ângulos (40°, 65° e 75°) são menores que 90°, ou seja, são agudos. O triângulo é acutângulo.
b) 90° + 35° = 125°. Terceiro ângulo: 180° − 125° = 55°. Como existe um ângulo de exatamente 90°, o triângulo é retângulo.
c) 110° + 25° = 135°. Terceiro ângulo: 180° − 135° = 45°. Existe um ângulo maior que 90° (o de 110°), então o triângulo é obtusângulo.
20Múltipla escolha
Um triângulo tem dois ângulos de 60°. Qual é a medida do terceiro ângulo e como esse triângulo é classificado quanto aos lados e quanto aos ângulos?
Resposta
Alternativa a) 60°; equilátero e acutângulo
Resolução passo a passo
Primeiro achamos o terceiro ângulo: 60° + 60° = 120°, e 180° − 120° = 60°.
Então os três ângulos medem 60°. Quando os três ângulos são iguais, os três lados também são iguais.
Por isso o triângulo é equilátero (quanto aos lados).
E como 60° é menor que 90°, todos os ângulos são agudos: ele é acutângulo. A resposta é a alternativa a.
21Dissertativo
Complete as frases: a) Um triângulo ______ possui um ângulo maior que 90°. b) Um triângulo retângulo possui um ângulo de ______ graus. c) Um triângulo isósceles com um ângulo de 100° tem os outros dois ângulos medindo ______ e ______.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) obtusângulo; b) 90; c) 40° e 40°
Resolução passo a passo
a) Um ângulo maior que 90° é chamado de obtuso. O triângulo que tem um ângulo assim é obtusângulo.
b) O triângulo retângulo tem um ângulo reto, que mede 90 graus.
c) No triângulo isósceles, os dois ângulos da base são iguais. Como um ângulo já vale 100°, sobram 180° − 100° = 80° para os outros dois.
Como eles são iguais, dividimos: 80° ÷ 2 = 40° cada um. Conferindo: 100° + 40° + 40° = 180°. Certo!
22Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo triângulo equilátero é também isósceles.
b)Um triângulo pode ter dois ângulos retos.
c)O triângulo escaleno tem os três lados com medidas diferentes.
d)Um triângulo acutângulo tem os três ângulos agudos.
e)A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 360°.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) V; e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O isósceles precisa de pelo menos dois lados iguais. O equilátero tem três iguais, então cumpre a condição.
b) Falso. Dois ângulos retos já dariam 90° + 90° = 180°, e não sobraria nada para o terceiro ângulo. Impossível!
c) Verdadeiro. Essa é justamente a definição de escaleno.
d) Verdadeiro. Acutângulo significa que os três ângulos são agudos (menores que 90°).
e) Falso. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e não 360°.
Quadriláteros
23Dissertativo
Responda: a) O que é um paralelogramo? b) O que é um trapézio? c) Qual paralelogramo tem os quatro lados congruentes, mas nem sempre ângulos retos? d) Qual quadrilátero tem os quatro lados e os quatro ângulos com a mesma medida?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) É o quadrilátero que tem os dois pares de lados opostos paralelos. b) É o quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos. c) O losango. d) O quadrado.
Resolução passo a passo
Todos são quadriláteros, ou seja, polígonos de 4 lados. A diferença está nos lados paralelos.
a) No paralelogramo, os lados de frente um para o outro são paralelos, nos dois pares. Exemplos: retângulo, losango, quadrado.
b) No trapézio, só um par de lados é paralelo. Esses lados paralelos são chamados de bases.
c) O losango tem os 4 lados congruentes (do mesmo tamanho), mas seus ângulos podem ser "tortos", como o desenho de uma pipa esticada.
d) O quadrado é o mais completo: 4 lados iguais e 4 ângulos de 90°.
24Múltipla escolha
Um trapézio que possui dois ângulos retos é chamado de:
Resposta
Alternativa c) trapézio retângulo
Resolução passo a passo
O trapézio recebe nomes diferentes conforme o formato dos lados não paralelos.
Quando ele tem dois ângulos de 90°, um dos lados fica "em pé", formando um cantinho reto com as duas bases. Ele é o trapézio retângulo.
O trapézio isósceles tem os lados não paralelos com a mesma medida. O escaleno tem esses lados diferentes e sem ângulo reto.
O losango nem é trapézio comum, é paralelogramo. Resposta: c.
25Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo retângulo é um paralelogramo.
b)Todo losango é um quadrado.
c)Todo quadrado é um losango e também um retângulo.
d)O trapézio tem dois pares de lados paralelos.
e)Em um paralelogramo, os ângulos opostos têm a mesma medida.
f)Todo quadrilátero é um trapézio.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) F; e) V; f) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O retângulo tem os dois pares de lados opostos paralelos, então é um paralelogramo.
b) Falso. O losango tem 4 lados iguais, mas seus ângulos nem sempre são retos. Só quando são retos ele vira quadrado.
c) Verdadeiro. O quadrado tem 4 lados iguais (como o losango) e 4 ângulos retos (como o retângulo).
d) Falso. O trapézio tem apenas um par de lados paralelos. Dois pares seria paralelogramo.
e) Verdadeiro. No paralelogramo, os ângulos opostos são sempre congruentes.
f) Falso. Existem quadriláteros sem nenhum par de lados paralelos.
26Dissertativo
Desenhe no caderno um quadrilátero que tenha exatamente um par de lados paralelos e cujos lados não paralelos tenham medidas diferentes. Como esse quadrilátero se chama?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
É um trapézio escaleno.
Resolução passo a passo
Vamos montar o desenho por partes. Trace dois segmentos horizontais paralelos de tamanhos diferentes, por exemplo, um de 6 cm em baixo e um de 3 cm em cima.
Agora ligue as pontas com dois segmentos inclinados, mas deixe um mais inclinado que o outro, para que tenham medidas diferentes.
A figura tem 4 lados e exatamente um par de lados paralelos: é um trapézio.
Como os lados não paralelos têm medidas diferentes, o nome completo é trapézio escaleno.
27Dissertativo
Um quadrilátero tem os quatro ângulos retos e dois lados medindo 6 cm e dois lados medindo 3 cm. Que figura é essa? Ela pode ser chamada de quadrado? Justifique.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
É um retângulo (com 6 cm e 3 cm). Não pode ser chamado de quadrado, porque o quadrado precisa ter os quatro lados iguais.
Resolução passo a passo
A figura tem 4 lados, então é um quadrilátero. Como os 4 ângulos são retos (90°), ela é um retângulo.
Os lados opostos medem o mesmo: dois lados de 6 cm e dois de 3 cm. Isso combina certinho com um retângulo.
Para ser quadrado, além dos ângulos retos, os 4 lados teriam que ser iguais.
Como 6 cm é diferente de 3 cm, ela não é quadrado. Ou seja: todo quadrado é retângulo, mas nem todo retângulo é quadrado.
Poliedros e Relação de Euler
28Dissertativo
Explique o que é um poliedro e diga por que o cilindro não é um poliedro.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Poliedro é um sólido geométrico cujas faces são todas polígonos (superfícies planas). O cilindro não é poliedro porque tem uma superfície curva (a lateral arredondada).
Resolução passo a passo
A palavra poliedro vem de poli (muitas) + edro (faces). Ele é um sólido fechado formado só por faces planas, e cada face é um polígono.
No poliedro conseguimos contar faces, arestas e vértices. Exemplos: cubo, pirâmide, prisma.
O cilindro tem duas bases planas, mas a lateral dele é uma superfície curva, arredondada. Círculo também não é polígono.
Como nem todas as suas superfícies são polígonos planos, o cilindro é chamado de corpo redondo, junto com o cone e a esfera.
29Calcule
Usando a Relação de Euler (A + 2 = V + F), calcule: a) o número de arestas de um poliedro com 5 faces e 6 vértices; b) o número de vértices de um poliedro com 8 faces e 18 arestas; c) o número de faces de um poliedro com 10 vértices e 15 arestas.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 9 arestas; b) 12 vértices; c) 7 faces
Resolução passo a passo
A Relação de Euler diz que A + 2 = V + F, em que A = arestas, V = vértices e F = faces.
a) Temos F = 5 e V = 6. Substituindo: A + 2 = 6 + 5 → A + 2 = 11 → A = 11 − 2 = 9 arestas.
b) Temos F = 8 e A = 18. Substituindo: 18 + 2 = V + 8 → 20 = V + 8 → V = 20 − 8 = 12 vértices.
c) Temos V = 10 e A = 15. Substituindo: 15 + 2 = 10 + F → 17 = 10 + F → F = 17 − 10 = 7 faces.
Repare que o truque é sempre isolar a letra que falta, fazendo a operação inversa.
30Múltipla escolha
Um poliedro convexo tem 12 arestas e 8 vértices. Quantas faces ele possui?
Resposta
Alternativa c) 6
Resolução passo a passo
Escrevemos a Relação de Euler: A + 2 = V + F.
Substituímos os dados do problema, A = 12 e V = 8: 12 + 2 = 8 + F.
Calculando o lado esquerdo: 14 = 8 + F, logo F = 14 − 8 = 6 faces.
Esse poliedro pode ser justamente um cubo ou um paralelepípedo, que têm 12 arestas, 8 vértices e 6 faces. Resposta: c.
31Calcule
Verifique se a Relação de Euler funciona para a pirâmide de base quadrada. Escreva os valores de V, F e A e mostre a conta.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
V = 5, F = 5 e A = 8. Como 8 + 2 = 5 + 5, ou seja, 10 = 10, a Relação de Euler é válida.
Resolução passo a passo
Primeiro contamos os elementos da pirâmide de base quadrada.
Faces: 1 quadrado da base + 4 triângulos laterais = F = 5.
Vértices: 4 cantos da base + 1 no topo = V = 5.
Arestas: 4 lados do quadrado + 4 arestas que sobem até a ponta = A = 8.
Agora aplicamos A + 2 = V + F: 8 + 2 = 5 + 5, ou seja, 10 = 10. Os dois lados deram o mesmo valor, então a relação funciona.
32Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo poliedro tem faces formadas apenas por polígonos.
b)A esfera é um poliedro.
c)Um poliedro pode ser côncavo.
d)A Relação de Euler vale para poliedros convexos.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. Por definição, as faces de um poliedro são polígonos planos.
b) Falso. A esfera é toda curva, não tem faces planas nem arestas. Ela é um corpo redondo.
c) Verdadeiro. Existem poliedros côncavos, com "afundados", além dos convexos.
d) Verdadeiro. A Relação de Euler (A + 2 = V + F) vale sempre para os poliedros convexos.
Plantas baixas e vistas
33Dissertativo
Explique com suas palavras o que é uma planta baixa e para que ela serve na construção de uma casa.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A planta baixa é o desenho da casa vista de cima, como se o teto fosse retirado. Ela mostra os cômodos, as paredes, as portas e as janelas, e serve para planejar e construir a casa nas medidas certas.
Resolução passo a passo
Imagine tirar o telhado de uma casa e olhar tudo de cima. É isso que a planta baixa representa.
Ela é um desenho plano (em duas dimensões) de algo que é espacial: a casa de verdade.
Na planta aparecem os cômodos, a espessura das paredes, o lugar das portas e janelas e as medidas de cada ambiente.
Ela serve para o pedreiro saber onde levantar cada parede, para calcular o material e para a família ver se os móveis vão caber. Os desenhos usam escala, ou seja, tudo é reduzido mantendo a proporção.
34Múltipla escolha
Uma caixa de sapatos com formato de paralelepípedo é vista de cima. Que figura plana aparece nessa vista aérea?
Resposta
Alternativa b) Um retângulo
Resolução passo a passo
A caixa de sapatos é um paralelepípedo, e todas as suas faces são retângulos.
Quando olhamos de cima, enxergamos apenas a face de cima da caixa.
Essa face é um retângulo, com o comprimento e a largura da caixa.
O cubo não serve como resposta, porque ele é um sólido, e a vista é sempre uma figura plana. Resposta: b.
35Dissertativo
Desenhe, no seu caderno, a vista de cima (vista aérea) de cada objeto: a) uma lata de milho em pé b) uma pirâmide de base quadrada c) uma bola d) um livro fechado sobre a mesa
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) um círculo; b) um quadrado com as duas diagonais desenhadas; c) um círculo; d) um retângulo
Resolução passo a passo
A vista aérea (ou vista de cima) é o que enxergamos olhando o objeto de cima para baixo.
a) A lata de milho em pé mostra a tampa redonda: desenhe um círculo.
b) Na pirâmide de base quadrada, vemos o quadrado da base e as 4 arestas que sobem até a ponta central. O desenho fica um quadrado com as duas diagonais.
c) A bola, de qualquer lado que se olhe, aparece como um círculo.
d) O livro fechado mostra a capa: um retângulo.
36Calcule
Um quarto retangular mede 4,00 m por 3,00 m. Uma cama tem 1,90 m de comprimento. Se a cama for encostada em uma parede de 4,00 m, aproximadamente que parte dessa parede ela ocupa? Explique seu raciocínio.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A cama ocupa quase metade da parede (cerca de 47,5% dos 4,00 m), sobrando 2,10 m livres.
Resolução passo a passo
A parede tem 4,00 m e a cama tem 1,90 m encostada nela.
Primeiro vemos quanto sobra: 4,00 m − 1,90 m = 2,10 m de parede livre.
Agora comparamos a cama com a parede inteira. Metade da parede seria 4,00 ÷ 2 = 2,00 m. Como a cama tem 1,90 m, ela ocupa um pouco menos da metade.
Em porcentagem: 1,90 ÷ 4,00 = 0,475, ou seja, cerca de 47,5% da parede. Sobra espaço suficiente para colocar, por exemplo, um criado-mudo.
37Dissertativo
Observe a planta baixa de uma sala de aula vista de cima, com 4 fileiras de 5 carteiras cada. Responda: a) Quantas carteiras há ao todo? b) Se você quiser indicar onde está sentado um aluno, quais duas informações precisa dar? c) Cite duas informações reais da sala que devem ser consideradas ao desenhar essa vista.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 20 carteiras; b) o número da fileira e a posição da carteira dentro da fileira (linha e coluna); c) exemplos: o tamanho real da sala, a posição da porta, das janelas, do quadro e a largura dos corredores.
Resolução passo a passo
a) São 4 fileiras com 5 carteiras em cada uma. Multiplicamos: 4 × 5 = 20 carteiras.
b) Só dizer "terceira carteira" não basta, porque existem várias terceiras carteiras. É preciso dar duas informações: a fileira (por exemplo, 2ª fileira) e a posição dentro dela (3ª carteira).
Essa ideia de "dois números para localizar" é a mesma do plano cartesiano, que você vai estudar adiante.
c) Ao desenhar a vista de cima, é preciso considerar coisas reais da sala, como o tamanho da sala, o lugar da porta, das janelas, do quadro e o espaço dos corredores para as pessoas passarem.
Plano cartesiano e pares ordenados
38Dissertativo
Complete as frases sobre o plano cartesiano: a) O eixo horizontal é o eixo das ______, também chamado de eixo ______. b) O eixo vertical é o eixo das ______, também chamado de eixo ______. c) O ponto onde os dois eixos se cruzam chama-se ______ e tem coordenadas ( ___ , ___ ).
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) abscissas; eixo x. b) ordenadas; eixo y. c) origem; (0, 0).
Resolução passo a passo
O plano cartesiano é formado por dois eixos numerados que se cruzam formando ângulo reto.
a) O eixo "deitado" é o eixo das abscissas, chamado de eixo x. Ele guarda o primeiro número do par.
b) O eixo "em pé" é o eixo das ordenadas, chamado de eixo y. Ele guarda o segundo número do par.
c) O ponto de encontro dos eixos é a origem, e suas coordenadas são (0, 0).
Dica para lembrar a ordem: no par ordenado escrevemos primeiro o x e depois o y, como em (x, y).
39Dissertativo
Desenhe um plano cartesiano no caderno (de 0 a 8 nos dois eixos) e marque os pontos: A (2, 5) B (6, 1) C (0, 4) D (7, 0) E (3, 3)
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A (2, 5): 2 para a direita e 5 para cima. B (6, 1): 6 para a direita e 1 para cima. C (0, 4): sobre o eixo y, na altura 4. D (7, 0): sobre o eixo x, na marca 7. E (3, 3): 3 para a direita e 3 para cima.
Resolução passo a passo
Comece traçando dois eixos perpendiculares e numere de 0 a 8 nos dois, sempre com espaços iguais.
Para marcar cada ponto, sempre parta da origem: primeiro ande para a direita o valor de x, depois suba o valor de y.
A (2, 5): ande 2 para a direita e suba 5. B (6, 1): ande 6 e suba 1. E (3, 3): ande 3 e suba 3.
Atenção aos zeros: C (0, 4) não anda para o lado, então fica em cima do eixo y. E D (7, 0) não sobe nada, então fica em cima do eixo x.
40Múltipla escolha
O ponto P tem abscissa 5 e ordenada 0. Onde ele está localizado?
Resposta
Alternativa b) Sobre o eixo das abscissas (eixo x)
Resolução passo a passo
O ponto P tem abscissa 5 e ordenada 0, ou seja, P = (5, 0).
A partir da origem, andamos 5 unidades para a direita e depois subimos zero.
Como não subimos nada, o ponto continua na linha horizontal.
Essa linha é o eixo x (eixo das abscissas). Ele não está na origem, porque a origem é (0, 0). Resposta: b.
41Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)No par ordenado (4, 7), o número 4 é a ordenada.
b)O ponto (0, 0) é a origem.
c)Os pontos (2, 6) e (6, 2) ocupam o mesmo lugar no plano.
d)Quando um ponto está sobre o eixo y, sua abscissa é zero.
Resposta
a) F; b) V; c) F; d) V
Resolução passo a passo
a) Falso. Em (4, 7), o 4 é a abscissa (valor de x) e o 7 é a ordenada.
b) Verdadeiro. O ponto (0, 0) é o cruzamento dos eixos, chamado de origem.
c) Falso. A ordem importa! O ponto (2, 6) fica pouco à direita e bem alto; o (6, 2) fica bem à direita e pouco alto. São lugares diferentes.
d) Verdadeiro. Se o ponto está sobre o eixo y, ele não andou nada para o lado, então sua abscissa é 0.
42Dissertativo
Desenhe um plano cartesiano e trace o segmento que vai do ponto M (1, 1) ao ponto N (5, 4). Depois, escreva quantas unidades você andou para a direita e quantas para cima ao ir de M até N.
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Resposta
De M (1, 1) até N (5, 4): 4 unidades para a direita e 3 unidades para cima.
Resolução passo a passo
Marque M andando 1 para a direita e 1 para cima a partir da origem. Marque N andando 5 para a direita e 4 para cima. Depois, ligue os dois pontos com a régua.
Para descobrir quanto andamos na horizontal, subtraímos as abscissas: 5 − 1 = 4 unidades para a direita.
Para a vertical, subtraímos as ordenadas: 4 − 1 = 3 unidades para cima.
Curiosidade: se você desenhar esse "degrau" de 4 e 3, junto com o segmento MN, forma-se um triângulo retângulo.
Algoritmos no plano cartesiano
43Dissertativo
Explique o que é um algoritmo e dê um exemplo de algoritmo usado no seu dia a dia.
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Resposta
Algoritmo é uma sequência de passos em ordem que ensina a realizar uma tarefa ou resolver um problema. Exemplos: uma receita de bolo, o passo a passo para escovar os dentes ou o caminho descrito de casa até a escola.
Resolução passo a passo
Um algoritmo é como um manual de instruções: uma lista de passos, na ordem certa, que leva sempre ao mesmo resultado.
Duas coisas são essenciais: os passos devem ser claros e devem estar em ordem. Se você trocar a ordem, o resultado pode dar errado.
Exemplo do dia a dia: a receita de bolo (misturar, bater, assar por 40 minutos). Trocar a ordem estragaria o bolo.
Outros exemplos: o passo a passo para escovar os dentes ou as instruções de um jogo. Na matemática, também usamos algoritmos, como o da conta de dividir.
44Dissertativo
Siga o algoritmo no seu caderno e escreva as coordenadas dos pontos marcados: - Trace os eixos perpendiculares e marque a origem O. - Partindo da origem, conte 5 unidades para a direita e 2 para cima. Marque o ponto A. - Partindo da origem, conte 1 unidade para a direita e 6 para cima. Marque o ponto B. - Partindo da origem, conte 4 unidades para cima. Marque o ponto C.
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Resposta
A (5, 2); B (1, 6); C (0, 4)
Resolução passo a passo
Siga o algoritmo passo a passo. Primeiro, trace os dois eixos perpendiculares e marque a origem O = (0, 0).
Ponto A: 5 para a direita (x = 5) e 2 para cima (y = 2). Logo, A = (5, 2).
Ponto B: 1 para a direita (x = 1) e 6 para cima (y = 6). Logo, B = (1, 6).
Ponto C: o algoritmo só manda subir 4, sem andar para o lado. Então x = 0 e y = 4, ou seja, C = (0, 4). Esse ponto fica sobre o eixo y.
45Dissertativo
Tiago devia marcar o ponto que fica 3 unidades para a direita e 6 para cima a partir da origem, mas escreveu (6, 3). Qual foi o erro dele? Escreva o par ordenado correto.
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Resposta
Ele inverteu a ordem dos números do par ordenado: escreveu primeiro a ordenada e depois a abscissa. O par correto é (3, 6).
Resolução passo a passo
No par ordenado, a ordem é fixa: escrevemos primeiro o valor de x (quanto anda para a direita) e depois o valor de y (quanto sobe).
O enunciado diz 3 unidades para a direita, então x = 3. E 6 para cima, então y = 6.
O par correto é (3, 6). Tiago escreveu (6, 3), ou seja, trocou a ordem dos números.
Esse erro muda o ponto de lugar: (3, 6) fica mais alto e mais à esquerda; (6, 3) fica mais à direita e mais baixo.
46Múltipla escolha
Uma pessoa caminha sobre o plano cartesiano. Ela parte de (2, 2), anda 6 unidades para a direita, depois 4 unidades para cima e, por fim, volta em linha reta (na diagonal) ao ponto de partida. Que figura o caminho dela formou?
Resposta
Alternativa b) Um triângulo retângulo
Resolução passo a passo
Vamos seguir o caminho. Ela sai de (2, 2) e anda 6 para a direita, chegando em (8, 2).
Depois sobe 4 unidades, chegando em (8, 6).
Por fim, volta na diagonal direto para (2, 2). Assim, o caminho tem 3 lados, então é um triângulo.
Como o primeiro trecho é horizontal e o segundo é vertical, eles formam um ângulo de 90°. Por isso é um triângulo retângulo. Resposta: b.
Polígonos no plano cartesiano
47Dissertativo
Marque no plano cartesiano os pontos A (1, 1), B (6, 1), C (6, 4) e D (1, 4). Una os pontos na ordem A → B → C → D → A. a) Que polígono foi formado? b) Quantas unidades mede cada lado?
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Resposta
a) Um retângulo. b) AB = 5 unidades, BC = 3 unidades, CD = 5 unidades e DA = 3 unidades.
Resolução passo a passo
Marque os pontos: A (1, 1), B (6, 1), C (6, 4) e D (1, 4). Ligue-os na ordem indicada.
Repare que A e B têm o mesmo y (=1), então AB é horizontal. C e D têm y = 4, então CD também é horizontal. Já BC e AD são verticais.
Como os lados formam ângulos de 90° e os lados opostos são iguais, a figura é um retângulo.
Medidas: AB = 6 − 1 = 5 unidades; BC = 4 − 1 = 3 unidades; CD = 6 − 1 = 5 unidades; DA = 4 − 1 = 3 unidades. Não é quadrado porque 5 ≠ 3.
48Dissertativo
Um polígono tem vértices em A (2, 2) e B (2, 6). Determine as coordenadas de outros vértices de modo a formar: a) um quadrado que tenha AB como lado; b) um retângulo que tenha AB como lado e o outro lado medindo 6 unidades; c) um triângulo isósceles com AB como um dos lados iguais.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) C (6, 6) e D (6, 2) — ou C (−2, 6) e D (−2, 2); b) C (8, 6) e D (8, 2); c) por exemplo, C (6, 2), formando um triângulo com AB = AC = 4 unidades.
Resolução passo a passo
Primeiro medimos AB. Como A (2, 2) e B (2, 6) têm o mesmo x, o lado é vertical e mede 6 − 2 = 4 unidades.
a) Para o quadrado, todos os lados devem medir 4. Basta andar 4 unidades para a direita a partir de A e de B: D (6, 2) e C (6, 6). Assim os quatro lados medem 4 e todos os ângulos são retos.
b) Para o retângulo com o outro lado de 6 unidades, andamos 6 para a direita: D (8, 2) e C (8, 6). Os lados ficam 4, 6, 4 e 6.
c) Para o triângulo isósceles com AB como um dos lados iguais, precisamos de um ponto C com AC = 4 também. Tomando C (6, 2), temos AC = 6 − 2 = 4. Então AB = AC = 4 e o lado BC é diferente: o triângulo é isósceles.
49Múltipla escolha
Carla marcou no plano cartesiano os pontos (1, 3), (3, 5), (5, 3) e (3, 1) e uniu-os formando um quadrilátero convexo. Que figura ela obteve?
Resposta
Alternativa b) Um losango (quadrado girado)
Resolução passo a passo
Marque os pontos (1, 3), (3, 5), (5, 3) e (3, 1). Eles formam uma figura parecida com uma pipa em pé.
Cada lado é a diagonal de um "quadradinho" de 2 por 2 da malha. Por isso, os quatro lados têm a mesma medida.
Quadrilátero com 4 lados iguais é um losango.
Além disso, as duas diagonais medem 4 unidades cada e se cruzam formando ângulo reto no ponto (3, 3). Ou seja, é um losango especial: um quadrado girado. Resposta: b.
50Dissertativo
No plano cartesiano, marque os pontos P (0, 2), Q (4, 2) e R (2, 6). Una os três pontos. a) Que polígono foi formado? b) Classifique-o quanto aos lados, medindo com a régua.
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Resposta
a) Um triângulo. b) Triângulo isósceles: PR e QR têm a mesma medida (cerca de 4,5 unidades) e PQ mede 4 unidades.
Resolução passo a passo
a) Ao unir três pontos que não estão na mesma reta, formamos um polígono de 3 lados: um triângulo.
b) O lado PQ é horizontal, pois P (0, 2) e Q (4, 2) têm o mesmo y. Ele mede 4 − 0 = 4 unidades.
Agora olhe o ponto R (2, 6). Ele está exatamente no meio, acima de PQ: fica 2 unidades à direita de P e 2 unidades à esquerda de Q, e sobe 4 em ambos os casos.
Por isso, medindo com a régua, PR e QR dão o mesmo tamanho (cerca de 4,5 unidades). Dois lados iguais e um diferente: o triângulo é isósceles.
51Dissertativo
Observe o mapa de um parque desenhado em um plano cartesiano. A entrada fica em (1, 1), o lago em (1, 5) e o quiosque em (5, 5). Ana caminha apenas sobre as linhas do piso, seguindo o caminho mais curto da entrada até o quiosque. Descreva duas rotas diferentes possíveis, indicando as coordenadas dos pontos por onde ela passa.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Rota 1: (1, 1) → (1, 5) [lago] → (5, 5) [quiosque]. Rota 2: (1, 1) → (5, 1) → (5, 5). Nos dois casos ela anda 8 unidades.
Resolução passo a passo
Da entrada (1, 1) até o quiosque (5, 5), Ana precisa subir 5 − 1 = 4 unidades e andar para a direita 5 − 1 = 4 unidades.
Andando só pelas linhas do piso, qualquer caminho mais curto tem 4 + 4 = 8 unidades. O que muda é a ordem dos passos.
Rota 1: sobe primeiro, passando pelo lago: (1, 1) → (1, 2) → (1, 3) → (1, 4) → (1, 5) e depois vai para a direita até (5, 5).
Rota 2: vai primeiro para a direita: (1, 1) → (2, 1) → (3, 1) → (4, 1) → (5, 1) e depois sobe até (5, 5). Também vale misturar, por exemplo (1, 1) → (1, 3) → (3, 3) → (3, 5) → (5, 5), que dá 8 unidades igualmente.
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Capítulo 7 — Figuras planas e espaciais, plantas baixas e plano cartesiano
Resumo rápido
Capítulo 7 — Figuras planas e espaciais, plantas baixas e plano cartesiano
Resumo rápido
1Figuras geométricas planas e espaciais
As figuras planas têm só duas dimensões: comprimento e largura. Por isso são chamadas de bidimensionais. Elas cabem inteiras dentro de um plano, como o papel.
As figuras espaciais têm três dimensões: comprimento, largura e altura. São chamadas de tridimensionais e ocupam espaço, como uma caixa.
Quem projeta casas usa figuras planas na planta baixa (desenho visto de cima) e figuras espaciais nas maquetes (projetos em 3D).
Um sólido geométrico é uma parte fechada do espaço, limitada por superfícies planas ou curvas.
Os sólidos têm três elementos importantes: face (cada figura plana que forma o sólido), aresta (o segmento de reta onde duas faces se encontram) e vértice (o ponto onde três ou mais arestas se juntam).
Exemplo
O cubo tem 6 faces (quadrados), 12 arestas e 8 vértices.
2.1Planificação
Planificar é abrir o sólido e deixá-lo todo esticado no plano, como quando desmontamos uma caixa. Assim vemos todas as faces juntas.
Cada sólido tem sua planificação: o paralelepípedo vira 6 retângulos; o cubo, 6 quadrados iguais; a pirâmide de base quadrada, 4 triângulos e 1 quadrado; o tetraedro regular, 4 triângulos iguais.
O cilindro reto vira 1 retângulo e 2 círculos (as bases). O cone circular reto vira um pedaço de círculo e 1 círculo na base.
3Linhas poligonais e polígonos
A linha poligonal é formada por segmentos de reta ligados um no outro, que não se cruzam e não ficam na mesma direção.
Se as pontas do primeiro e do último segmento não se encontram, a linha é aberta. Se elas se encontram, a linha é fechada.
O polígono é a linha poligonal fechada junto com a região de dentro dela.
3.1Convexos e côncavos
Se você escolher dois pontos quaisquer dentro do polígono e o segmento que liga esses pontos ficar sempre dentro dele, o polígono é convexo.
Se existir algum par de pontos cujo segmento sai para fora, o polígono é côncavo (ou não convexo).
Exemplo
O triângulo é convexo; uma figura em forma de estrela é côncava.
3.2Elementos do polígono
Lado: cada segmento do contorno. Vértice: ponto onde dois lados se encontram. Diagonal: segmento que liga dois vértices que não são vizinhos.
Ângulo interno: ângulo formado dentro do polígono. Ângulo externo: o ângulo vizinho ao interno, que completa 180°.
3.3Classificação e polígono regular
O nome do polígono vem do número de lados: 3 = triângulo, 4 = quadrilátero, 5 = pentágono, 6 = hexágono, 7 = heptágono, 8 = octógono, 9 = eneágono, 10 = decágono, 12 = dodecágono, 15 = pentadecágono, 20 = icoságono.
Quando o polígono tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais, ele é chamado de polígono regular.
Exemplo
O quadrado é regular: 4 lados iguais e 4 ângulos retos.
4Triângulos
Triângulo é o polígono de três lados. Seus elementos são 3 lados, 3 vértices e 3 ângulos.
Quanto aos lados: equilátero (3 lados iguais), isósceles (pelo menos 2 lados iguais) e escaleno (os 3 lados diferentes).
Quanto aos ângulos: acutângulo (3 ângulos agudos), retângulo (tem 1 ângulo reto) e obtusângulo (tem 1 ângulo obtuso).
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
📐 Para guardar
 + B̂ + Ĉ = 180°
Exemplo
Se dois ângulos medem 30° e 45°, o terceiro é 180° − 75° = 105°.
5Quadriláteros
Quadrilátero é o polígono de quatro lados. Dois grupos importantes são os trapézios e os paralelogramos.
O trapézio tem apenas um par de lados paralelos. Pode ser isósceles (lados não paralelos iguais), retângulo (com dois ângulos retos) ou escaleno.
O paralelogramo tem dois pares de lados paralelos. Nele, os lados opostos e os ângulos opostos são iguais.
Casos especiais de paralelogramo: retângulo (4 ângulos retos), losango (4 lados iguais) e quadrado (4 lados iguais e 4 ângulos retos, ou seja, é losango e retângulo ao mesmo tempo).
6Poliedros e a Relação de Euler
Poliedro é todo sólido cujas faces são só polígonos (nada de partes curvas). Como os polígonos, ele pode ser convexo ou côncavo.
Em todo poliedro convexo vale a Relação de Euler, que liga arestas (A), vértices (V) e faces (F).
📐 Para guardar
A + 2 = V + F
Exemplo
Cubo: A = 12, V = 8, F = 6 → 12 + 2 = 8 + 6 → 14 = 14.
7Plantas baixas e vistas
A planta baixa é o "mapa" de uma construção: o desenho visto de cima, como se o telhado fosse tirado.
Nela aparecem as posições e as medidas de paredes, portas, janelas e móveis. Não se usa perspectiva: só as vistas de cima e as medidas relativas.
Outra forma de desenhar um sólido no papel é o desenho em perspectiva, que dá a impressão de profundidade.
Exemplo
Um cubo em perspectiva parece uma caixa; visto de cima (vista aérea), vira só um quadrado.
8Plano cartesiano
O plano cartesiano é um plano com dois eixos numerados e perpendiculares entre si. O ponto onde eles se cruzam é a origem, de coordenadas (0, 0).
O eixo horizontal é o eixo x, das abscissas. O eixo vertical é o eixo y, das ordenadas.
Para marcar um ponto, escolhemos um número no eixo x e outro no eixo y. O encontro das duas linhas dá o ponto. Esse nome vem de René Descartes.
8.1Pares ordenados
O par ordenado (a, b) indica um ponto: o primeiro número é sempre a abscissa (x) e o segundo é sempre a ordenada (y).
Se o ponto está sobre o eixo x, sua ordenada é 0. Se está sobre o eixo y, sua abscissa é 0.
📐 Para guardar
Ponto P(a, b) → a = abscissa (x); b = ordenada (y)
Exemplo
No par (2, 3): ande 2 para a direita e 3 para cima.
8.2Algoritmos e polígonos no plano
Algoritmo é uma sequência de passos que deve ser seguida na ordem para chegar a um resultado.
Seguindo passos como "conte 4 para a direita e 3 para cima", marcamos pontos no plano. Ligando os pontos com segmentos, formamos polígonos e descobrimos as coordenadas de seus vértices.
Exemplo
Partindo da origem, 4 para a direita e 3 para cima → ponto A(4, 3).
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Figuras geométricas planas e espaciais
1Dissertativo
Classifique cada figura em plana (duas dimensões) ou espacial (três dimensões): a) um quadrado desenhado no caderno b) uma bola de futebol c) uma lata de refrigerante d) um triângulo recortado em papel e) um dado de jogo f) a tampa redonda de uma panela, vista de cima
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) plana; b) espacial; c) espacial; d) plana; e) espacial; f) plana
Resolução passo a passo
Primeiro, vamos combinar uma regra bem simples. Uma figura plana tem só duas medidas: comprimento e largura. Ela cabe "deitada" numa folha de papel.
Já uma figura espacial tem três medidas: comprimento, largura e altura. Ela ocupa espaço, dá para pegar com a mão.
a) O quadrado desenhado no caderno só tem comprimento e largura. É plana.
b) A bola de futebol ocupa espaço e é cheia por dentro. É espacial (lembra uma esfera).
c) A lata de refrigerante também ocupa espaço. É espacial (lembra um cilindro).
d) O triângulo recortado em papel é fininho, só tem duas dimensões. É plana.
e) O dado tem altura, largura e comprimento. É espacial (é um cubo).
f) Cuidado com a pegadinha! A panela é espacial, mas a tampa vista de cima é o desenho de um círculo. Esse desenho é plano.
2Múltipla escolha
Qual alternativa apresenta apenas figuras geométricas espaciais?
Resposta
Alternativa a) Cubo, cilindro e esfera
Resolução passo a passo
Vamos testar cada alternativa procurando só figuras espaciais (as que ocupam espaço).
a) Cubo, cilindro e esfera: todos os três são sólidos, ocupam espaço. Essa alternativa serve!
b) Círculo, quadrado e pentágono: os três são figuras planas. Não serve.
c) Cone e pirâmide são espaciais, mas o losango é plano. Não serve.
d) Prisma é espacial, mas retângulo e trapézio são planos. Não serve.
Portanto, a resposta é a alternativa a.
3Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)A esfera é uma figura plana.
b)O quadrado tem apenas comprimento e largura.
c)Um prisma hexagonal é uma figura espacial.
d)O círculo possui altura.
e)O cubo é um tipo de prisma.
Resposta
a) F; b) V; c) V; d) F; e) V
Resolução passo a passo
a) Falso. A esfera ocupa espaço, então é uma figura espacial, não plana.
b) Verdadeiro. O quadrado é plano: só tem comprimento e largura.
c) Verdadeiro. O prisma hexagonal é um sólido, tem três dimensões.
d) Falso. O círculo é plano, não tem altura.
e) Verdadeiro. O cubo é um prisma especial: suas duas bases são quadrados iguais e as faces laterais também são quadrados.
Sólidos geométricos, seus elementos e planificações
4Múltipla escolha
Ao planificar um sólido, Bia obteve um retângulo e dois círculos. De qual sólido ela partiu?
Resposta
Alternativa b) Cilindro reto
Resolução passo a passo
Planificar é abrir o sólido e deixá-lo todo plano, como quando desmontamos uma caixa.
Se Bia obteve dois círculos, eles são as duas bases do sólido. Só o cilindro tem duas bases redondas iguais.
O retângulo é a lateral do cilindro. Se você enrolar um retângulo, ele vira o "tubo" da lata.
As outras opções não servem: o cone dá 1 círculo e 1 setor; o prisma triangular dá 2 triângulos e 3 retângulos; a esfera nem tem planificação plana exata. Resposta: b.
5Calcule
Escreva o número de faces, de vértices e de arestas de cada sólido: a) cubo b) paralelepípedo c) tetraedro regular d) pirâmide de base quadrada
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) cubo: 6 faces, 8 vértices, 12 arestas; b) paralelepípedo: 6 faces, 8 vértices, 12 arestas; c) tetraedro regular: 4 faces, 4 vértices, 6 arestas; d) pirâmide de base quadrada: 5 faces, 5 vértices, 8 arestas
Resolução passo a passo
a) No cubo, conte as faces: em cima, embaixo e as 4 laterais = 6 faces. Os cantos: 4 em cima e 4 embaixo = 8 vértices. As arestas: 4 em cima, 4 embaixo e 4 em pé = 12 arestas.
b) O paralelepípedo (caixa de sapatos) tem o mesmo formato de "caixa" do cubo, só que as faces são retângulos. Então os números são iguais: 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
c) O tetraedro regular é feito de 4 triângulos iguais: 1 base + 3 laterais = 4 faces. Ele tem 3 vértices na base e 1 no topo = 4 vértices. As arestas: 3 da base + 3 laterais = 6 arestas.
d) Na pirâmide de base quadrada: 1 quadrado da base + 4 triângulos = 5 faces. Vértices: 4 da base + 1 no topo (o ápice) = 5. Arestas: 4 do quadrado + 4 que sobem até a ponta = 8.
6Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)A base do cone circular reto é um círculo.
b)O cubo planificado mostra seis quadrados iguais.
c)O tetraedro regular tem 5 faces.
d)O paralelepípedo tem todas as faces retangulares.
e)A planificação do cilindro tem dois triângulos.
Resposta
a) V; b) V; c) F; d) V; e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O cone circular reto tem base em forma de círculo.
b) Verdadeiro. Ao abrir um cubo, aparecem 6 quadrados do mesmo tamanho.
c) Falso. O tetraedro regular tem 4 faces triangulares, e não 5 (a palavra tetra já indica quatro).
d) Verdadeiro. No paralelepípedo, todas as 6 faces são retângulos (o quadrado também é um retângulo).
e) Falso. A planificação do cilindro tem 2 círculos e 1 retângulo, nunca triângulos.
Linhas poligonais e polígonos
7Múltipla escolha
Qual afirmação define corretamente um polígono?
Resposta
Alternativa b) É a reunião de uma linha poligonal fechada com a sua região interna.
Resolução passo a passo
Um polígono é formado por dois pedaços: o contorno (uma linha poligonal fechada e simples) mais a região de dentro.
a) Está errada: se tem lados curvos, não é polígono. Os lados precisam ser segmentos de reta.
c) Está errada: linha aberta não fecha região nenhuma.
d) Está errada: polígono é figura plana, não espacial.
Por isso, a definição correta é a da alternativa b.
8Dissertativo
Observe o polígono ABCDE (um pentágono). Responda: a) Quantos lados ele tem? b) Escreva os nomes dos seus vértices. c) Quantas diagonais partem do vértice A? Quais são? d) Quantos ângulos internos ele possui?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 5 lados; b) A, B, C, D e E; c) 2 diagonais: AC e AD; d) 5 ângulos internos
Resolução passo a passo
a) O nome pentágono já entrega: penta significa cinco. Então ele tem 5 lados: AB, BC, CD, DE e EA.
b) Os vértices são os cantos, e cada letra do nome é um vértice: A, B, C, D e E.
c) Diagonal é o segmento que liga dois vértices que não são vizinhos. De A, os vizinhos são B e E (ligados por lados). Sobram C e D. Logo, as diagonais são AC e AD: são 2.
d) Em todo polígono, o número de ângulos internos é igual ao número de lados. Como são 5 lados, são 5 ângulos internos.
9Dissertativo
Responda: a) Quantos vértices tem um octógono? b) Quantos lados tem um decágono? c) Quantos ângulos internos tem um heptágono? d) O que é um polígono regular? Dê um exemplo.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 8 vértices; b) 10 lados; c) 7 ângulos internos; d) É o polígono que tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos com a mesma medida. Exemplos: quadrado, triângulo equilátero.
Resolução passo a passo
Guarde esta ideia: em qualquer polígono, o número de lados, de vértices e de ângulos internos é sempre o mesmo.
a) O octógono tem 8 lados, então tem 8 vértices.
b) O decágono tem 10 vértices, então tem 10 lados.
c) O heptágono tem 7 lados, então tem 7 ângulos internos.
d) Um polígono regular precisa de duas coisas ao mesmo tempo: lados todos iguais e ângulos todos iguais. O quadrado é regular (4 lados iguais e 4 ângulos de 90°). O triângulo equilátero também é. Já o retângulo comprido não é regular, porque os lados têm medidas diferentes.
Triângulos
10Dissertativo
Classifique cada triângulo quanto aos lados: a) lados de 5 cm, 5 cm e 5 cm b) lados de 4 cm, 4 cm e 7 cm c) lados de 3 cm, 6 cm e 8 cm
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Resposta
a) equilátero; b) isósceles; c) escaleno
Resolução passo a passo
A classificação quanto aos lados depende só de comparar as medidas.
a) 5 cm, 5 cm e 5 cm: os três lados são iguais. É equilátero.
b) 4 cm, 4 cm e 7 cm: dois lados iguais e um diferente. É isósceles.
c) 3 cm, 6 cm e 8 cm: os três lados são diferentes. É escaleno.
Uma observação importante: todo triângulo equilátero também pode ser chamado de isósceles, porque ele tem (pelo menos) dois lados iguais.
11Calcule
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, calcule o terceiro ângulo e classifique cada triângulo quanto aos ângulos: a) 40° e 65° b) 90° e 35° c) 110° e 25°
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Resposta
a) 75°; acutângulo. b) 55°; retângulo. c) 45°; obtusângulo.
Resolução passo a passo
A regra usada é sempre a mesma: os três ângulos internos somam 180°. Então o terceiro ângulo é 180° menos a soma dos dois dados.
a) 40° + 65° = 105°. Terceiro ângulo: 180° − 105° = 75°. Os três ângulos (40°, 65° e 75°) são menores que 90°, ou seja, são agudos. O triângulo é acutângulo.
b) 90° + 35° = 125°. Terceiro ângulo: 180° − 125° = 55°. Como existe um ângulo de exatamente 90°, o triângulo é retângulo.
c) 110° + 25° = 135°. Terceiro ângulo: 180° − 135° = 45°. Existe um ângulo maior que 90° (o de 110°), então o triângulo é obtusângulo.
12Múltipla escolha
Um triângulo tem dois ângulos de 60°. Qual é a medida do terceiro ângulo e como esse triângulo é classificado quanto aos lados e quanto aos ângulos?
Resposta
Alternativa a) 60°; equilátero e acutângulo
Resolução passo a passo
Primeiro achamos o terceiro ângulo: 60° + 60° = 120°, e 180° − 120° = 60°.
Então os três ângulos medem 60°. Quando os três ângulos são iguais, os três lados também são iguais.
Por isso o triângulo é equilátero (quanto aos lados).
E como 60° é menor que 90°, todos os ângulos são agudos: ele é acutângulo. A resposta é a alternativa a.
13Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo triângulo equilátero é também isósceles.
b)Um triângulo pode ter dois ângulos retos.
c)O triângulo escaleno tem os três lados com medidas diferentes.
d)Um triângulo acutângulo tem os três ângulos agudos.
e)A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 360°.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) V; e) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O isósceles precisa de pelo menos dois lados iguais. O equilátero tem três iguais, então cumpre a condição.
b) Falso. Dois ângulos retos já dariam 90° + 90° = 180°, e não sobraria nada para o terceiro ângulo. Impossível!
c) Verdadeiro. Essa é justamente a definição de escaleno.
d) Verdadeiro. Acutângulo significa que os três ângulos são agudos (menores que 90°).
e) Falso. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e não 360°.
Quadriláteros
14Dissertativo
Responda: a) O que é um paralelogramo? b) O que é um trapézio? c) Qual paralelogramo tem os quatro lados congruentes, mas nem sempre ângulos retos? d) Qual quadrilátero tem os quatro lados e os quatro ângulos com a mesma medida?
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Resposta
a) É o quadrilátero que tem os dois pares de lados opostos paralelos. b) É o quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos. c) O losango. d) O quadrado.
Resolução passo a passo
Todos são quadriláteros, ou seja, polígonos de 4 lados. A diferença está nos lados paralelos.
a) No paralelogramo, os lados de frente um para o outro são paralelos, nos dois pares. Exemplos: retângulo, losango, quadrado.
b) No trapézio, só um par de lados é paralelo. Esses lados paralelos são chamados de bases.
c) O losango tem os 4 lados congruentes (do mesmo tamanho), mas seus ângulos podem ser "tortos", como o desenho de uma pipa esticada.
d) O quadrado é o mais completo: 4 lados iguais e 4 ângulos de 90°.
15Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo retângulo é um paralelogramo.
b)Todo losango é um quadrado.
c)Todo quadrado é um losango e também um retângulo.
d)O trapézio tem dois pares de lados paralelos.
e)Em um paralelogramo, os ângulos opostos têm a mesma medida.
f)Todo quadrilátero é um trapézio.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) F; e) V; f) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. O retângulo tem os dois pares de lados opostos paralelos, então é um paralelogramo.
b) Falso. O losango tem 4 lados iguais, mas seus ângulos nem sempre são retos. Só quando são retos ele vira quadrado.
c) Verdadeiro. O quadrado tem 4 lados iguais (como o losango) e 4 ângulos retos (como o retângulo).
d) Falso. O trapézio tem apenas um par de lados paralelos. Dois pares seria paralelogramo.
e) Verdadeiro. No paralelogramo, os ângulos opostos são sempre congruentes.
f) Falso. Existem quadriláteros sem nenhum par de lados paralelos.
16Dissertativo
Um quadrilátero tem os quatro ângulos retos e dois lados medindo 6 cm e dois lados medindo 3 cm. Que figura é essa? Ela pode ser chamada de quadrado? Justifique.
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Resposta
É um retângulo (com 6 cm e 3 cm). Não pode ser chamado de quadrado, porque o quadrado precisa ter os quatro lados iguais.
Resolução passo a passo
A figura tem 4 lados, então é um quadrilátero. Como os 4 ângulos são retos (90°), ela é um retângulo.
Os lados opostos medem o mesmo: dois lados de 6 cm e dois de 3 cm. Isso combina certinho com um retângulo.
Para ser quadrado, além dos ângulos retos, os 4 lados teriam que ser iguais.
Como 6 cm é diferente de 3 cm, ela não é quadrado. Ou seja: todo quadrado é retângulo, mas nem todo retângulo é quadrado.
Poliedros e Relação de Euler
17Calcule
Usando a Relação de Euler (A + 2 = V + F), calcule: a) o número de arestas de um poliedro com 5 faces e 6 vértices; b) o número de vértices de um poliedro com 8 faces e 18 arestas; c) o número de faces de um poliedro com 10 vértices e 15 arestas.
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Resposta
a) 9 arestas; b) 12 vértices; c) 7 faces
Resolução passo a passo
A Relação de Euler diz que A + 2 = V + F, em que A = arestas, V = vértices e F = faces.
a) Temos F = 5 e V = 6. Substituindo: A + 2 = 6 + 5 → A + 2 = 11 → A = 11 − 2 = 9 arestas.
b) Temos F = 8 e A = 18. Substituindo: 18 + 2 = V + 8 → 20 = V + 8 → V = 20 − 8 = 12 vértices.
c) Temos V = 10 e A = 15. Substituindo: 15 + 2 = 10 + F → 17 = 10 + F → F = 17 − 10 = 7 faces.
Repare que o truque é sempre isolar a letra que falta, fazendo a operação inversa.
18Múltipla escolha
Um poliedro convexo tem 12 arestas e 8 vértices. Quantas faces ele possui?
Resposta
Alternativa c) 6
Resolução passo a passo
Escrevemos a Relação de Euler: A + 2 = V + F.
Substituímos os dados do problema, A = 12 e V = 8: 12 + 2 = 8 + F.
Calculando o lado esquerdo: 14 = 8 + F, logo F = 14 − 8 = 6 faces.
Esse poliedro pode ser justamente um cubo ou um paralelepípedo, que têm 12 arestas, 8 vértices e 6 faces. Resposta: c.
19Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)Todo poliedro tem faces formadas apenas por polígonos.
b)A esfera é um poliedro.
c)Um poliedro pode ser côncavo.
d)A Relação de Euler vale para poliedros convexos.
Resposta
a) V; b) F; c) V; d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. Por definição, as faces de um poliedro são polígonos planos.
b) Falso. A esfera é toda curva, não tem faces planas nem arestas. Ela é um corpo redondo.
c) Verdadeiro. Existem poliedros côncavos, com "afundados", além dos convexos.
d) Verdadeiro. A Relação de Euler (A + 2 = V + F) vale sempre para os poliedros convexos.
Plantas baixas e vistas
20Múltipla escolha
Uma caixa de sapatos com formato de paralelepípedo é vista de cima. Que figura plana aparece nessa vista aérea?
Resposta
Alternativa b) Um retângulo
Resolução passo a passo
A caixa de sapatos é um paralelepípedo, e todas as suas faces são retângulos.
Quando olhamos de cima, enxergamos apenas a face de cima da caixa.
Essa face é um retângulo, com o comprimento e a largura da caixa.
O cubo não serve como resposta, porque ele é um sólido, e a vista é sempre uma figura plana. Resposta: b.
21Calcule
Um quarto retangular mede 4,00 m por 3,00 m. Uma cama tem 1,90 m de comprimento. Se a cama for encostada em uma parede de 4,00 m, aproximadamente que parte dessa parede ela ocupa? Explique seu raciocínio.
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Resposta
A cama ocupa quase metade da parede (cerca de 47,5% dos 4,00 m), sobrando 2,10 m livres.
Resolução passo a passo
A parede tem 4,00 m e a cama tem 1,90 m encostada nela.
Primeiro vemos quanto sobra: 4,00 m − 1,90 m = 2,10 m de parede livre.
Agora comparamos a cama com a parede inteira. Metade da parede seria 4,00 ÷ 2 = 2,00 m. Como a cama tem 1,90 m, ela ocupa um pouco menos da metade.
Em porcentagem: 1,90 ÷ 4,00 = 0,475, ou seja, cerca de 47,5% da parede. Sobra espaço suficiente para colocar, por exemplo, um criado-mudo.
Plano cartesiano e pares ordenados
22Dissertativo
Complete as frases sobre o plano cartesiano: a) O eixo horizontal é o eixo das ______, também chamado de eixo ______. b) O eixo vertical é o eixo das ______, também chamado de eixo ______. c) O ponto onde os dois eixos se cruzam chama-se ______ e tem coordenadas ( ___ , ___ ).
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Resposta
a) abscissas; eixo x. b) ordenadas; eixo y. c) origem; (0, 0).
Resolução passo a passo
O plano cartesiano é formado por dois eixos numerados que se cruzam formando ângulo reto.
a) O eixo "deitado" é o eixo das abscissas, chamado de eixo x. Ele guarda o primeiro número do par.
b) O eixo "em pé" é o eixo das ordenadas, chamado de eixo y. Ele guarda o segundo número do par.
c) O ponto de encontro dos eixos é a origem, e suas coordenadas são (0, 0).
Dica para lembrar a ordem: no par ordenado escrevemos primeiro o x e depois o y, como em (x, y).
23Verdadeiro ou falso
Marque V para verdadeiro e F para falso.
a)No par ordenado (4, 7), o número 4 é a ordenada.
b)O ponto (0, 0) é a origem.
c)Os pontos (2, 6) e (6, 2) ocupam o mesmo lugar no plano.
d)Quando um ponto está sobre o eixo y, sua abscissa é zero.
Resposta
a) F; b) V; c) F; d) V
Resolução passo a passo
a) Falso. Em (4, 7), o 4 é a abscissa (valor de x) e o 7 é a ordenada.
b) Verdadeiro. O ponto (0, 0) é o cruzamento dos eixos, chamado de origem.
c) Falso. A ordem importa! O ponto (2, 6) fica pouco à direita e bem alto; o (6, 2) fica bem à direita e pouco alto. São lugares diferentes.
d) Verdadeiro. Se o ponto está sobre o eixo y, ele não andou nada para o lado, então sua abscissa é 0.
Algoritmos no plano cartesiano
24Múltipla escolha
Uma pessoa caminha sobre o plano cartesiano. Ela parte de (2, 2), anda 6 unidades para a direita, depois 4 unidades para cima e, por fim, volta em linha reta (na diagonal) ao ponto de partida. Que figura o caminho dela formou?
Resposta
Alternativa b) Um triângulo retângulo
Resolução passo a passo
Vamos seguir o caminho. Ela sai de (2, 2) e anda 6 para a direita, chegando em (8, 2).
Depois sobe 4 unidades, chegando em (8, 6).
Por fim, volta na diagonal direto para (2, 2). Assim, o caminho tem 3 lados, então é um triângulo.
Como o primeiro trecho é horizontal e o segundo é vertical, eles formam um ângulo de 90°. Por isso é um triângulo retângulo. Resposta: b.
Polígonos no plano cartesiano
25Dissertativo
Marque no plano cartesiano os pontos A (1, 1), B (6, 1), C (6, 4) e D (1, 4). Una os pontos na ordem A → B → C → D → A. a) Que polígono foi formado? b) Quantas unidades mede cada lado?
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Resposta
a) Um retângulo. b) AB = 5 unidades, BC = 3 unidades, CD = 5 unidades e DA = 3 unidades.
Resolução passo a passo
Marque os pontos: A (1, 1), B (6, 1), C (6, 4) e D (1, 4). Ligue-os na ordem indicada.
Repare que A e B têm o mesmo y (=1), então AB é horizontal. C e D têm y = 4, então CD também é horizontal. Já BC e AD são verticais.
Como os lados formam ângulos de 90° e os lados opostos são iguais, a figura é um retângulo.
Medidas: AB = 6 − 1 = 5 unidades; BC = 4 − 1 = 3 unidades; CD = 6 − 1 = 5 unidades; DA = 4 − 1 = 3 unidades. Não é quadrado porque 5 ≠ 3.
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