O capítulo começa com uma história: Marcos é dono de uma confeitaria e recebeu uma encomenda de bolo de chocolate. Ao conferir os ingredientes, ele viu que tinha 2 1/2 xícaras de açúcar, 3/4 de xícara de leite, 1/2 xícara de óleo, entre outros.
Para descobrir se sobra ou falta ingrediente, Marcos precisa comparar frações e fazer contas com elas. É exatamente isso que você vai aprender aqui.
Neste capítulo você vai estudar as quatro operações com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão), fazer estimativas e resolver expressões numéricas com frações.
Exemplos
Se a receita pede 1/2 xícara de leite e Marcos tem 3/4 de xícara, ele tem mais do que precisa. A sobra é 3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4 de xícara.
O que você vai estudar neste capítulo
Assunto
Ideia principal
Adição e subtração
Somar ou tirar partes de um mesmo inteiro
Multiplicação
Calcular uma parte de outra parte
Divisão
Multiplicar pelo inverso da segunda fração
Estimativas
Descobrir um valor aproximado, sem conta exata
Expressões numéricas
Resolver várias operações na ordem certa
2Adição e subtração de frações
Somar e subtrair frações é juntar ou tirar pedaços de um mesmo inteiro. Existem dois casos: quando os denominadores são iguais e quando são diferentes.
Lembre-se: o denominador (número de baixo) diz em quantas partes o inteiro foi dividido. O numerador (número de cima) diz quantas partes você pegou.
Os dois casos da adição e subtração
Caso
O que fazer
Exemplo
Denominadores iguais
Opera só os numeradores e repete o denominador
2/7 + 3/7 = 5/7
Denominadores diferentes
Iguala os denominadores (m.m.c.) e depois opera
2/3 − 1/6 = 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2
2.1Frações com denominadores iguais
Davi ganhou uma barra de chocolate dividida em 7 pedaços iguais. De manhã comeu 2/7 da barra e à tarde comeu 3/7.
Como os pedaços têm todos o mesmo tamanho, basta juntar as quantidades: 2 pedaços + 3 pedaços = 5 pedaços. Então ele comeu 5/7 da barra.
A regra é simples: efetue a operação com os numeradores e repita o denominador. O denominador não muda porque ele só indica o tamanho de cada pedaço.
📐 Para guardar
a/c + b/c = (a + b)/c
a/c − b/c = (a − b)/c
Exemplos
2/7 + 3/7 = (2 + 3)/7 = 5/7
3/7 − 2/7 = (3 − 2)/7 = 1/7 (a diferença entre o que Davi comeu à tarde e de manhã)
5/17 + 9/17 = 14/17
5/9 + 4/9 = 9/9 = 1 (o resultado deu um inteiro!)
Passo a passo — denominadores iguais
Passo
O que fazer
1º passo
Efetuar a operação indicada com os numeradores
2º passo
Repetir o denominador, pois ele já indica partes de um mesmo inteiro
2.2Frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores são diferentes, os pedaços têm tamanhos diferentes. Não dá para somar direto! Primeiro é preciso deixar todos os pedaços do mesmo tamanho.
Para isso usamos o denominador comum: um número que serve para todas as frações. O jeito mais prático é calcular o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos denominadores.
Depois escrevemos cada fração como uma fração equivalente (fração com números diferentes, mas que vale a mesma quantidade) usando esse novo denominador. Aí sim operamos os numeradores.
📐 Para guardar
1º) achar o denominador comum → m.m.c. dos denominadores
2º) escrever as frações equivalentes com esse denominador
3º) efetuar a operação com os numeradores
Exemplos
Situação do tanque de gasolina: 2/3 − 1/6. Como m.m.c.(3, 6) = 6, temos 2/3 = 4/6. Então 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2. Foi gasto metade do tanque.
Exemplo I: 5/8 + 1/6. m.m.c.(6, 8) = 24. Então 5/8 = 15/24 e 1/6 = 4/24. Logo 15/24 + 4/24 = 19/24.
Exemplo II: 7/12 − 3/15. m.m.c.(12, 15) = 60. Então 7/12 = 35/60 e 3/15 = 12/60. Logo 35/60 − 12/60 = 23/60.
Um número misto é um número inteiro escrito junto com uma fração, como 2 1/4. Ele significa 2 inteiros mais 1/4.
Para calcular com números mistos, o mais seguro é transformá-los em fração imprópria (aquela em que o numerador é maior que o denominador). Multiplique o inteiro pelo denominador e some o numerador.
Você já sabe que o dobro de 4 é 2 · 4 = 4 + 4 = 8, e o triplo de 5 é 3 · 5 = 5 + 5 + 5 = 15. Multiplicar é somar parcelas iguais.
Com frações vale a mesma ideia. Multiplicar um número natural por uma fração é somar aquela fração várias vezes.
Quando multiplicamos duas frações, estamos calculando uma parte de outra parte. A palavra "de" vira sinal de multiplicação: 1/5 de 3/4 é o mesmo que 1/5 · 3/4.
📐 Para guardar
a/b · c/d = (a · c)/(b · d)
Todo número natural n pode virar fração: n = n/1
Exemplos
Exemplo I: o triplo de 2/7 → 3 · 2/7 = 2/7 + 2/7 + 2/7 = 6/7. Também dá para fazer 3/1 · 2/7 = 6/7.
Exemplo II: numa gaveta, 3/4 das meias são azuis e 1/5 delas estão rasgadas. Quanto do total está rasgado? 1/5 · 3/4 = (1 · 3)/(5 · 4) = 3/20 das meias.
Helena encheu 4 jarras com 4/5 de litro cada uma: 4 · 4/5 = 16/5 = 3 1/5 litros.
8 caixas de aveia com 3/4 kg cada: 8 · 3/4 = 24/4 = 6 kg.
Regra da multiplicação
Parte da fração
O que fazer
Numerador do resultado
Multiplicar os numeradores
Denominador do resultado
Multiplicar os denominadores
Depois
Simplificar o resultado, se possível
Exemplos organizados
Operação
Contas
Resultado
3 · 2/7
(3 · 2)/(1 · 7)
6/7
1/5 · 3/4
(1 · 3)/(5 · 4)
3/20
2/9 de 3/5
(2 · 3)/(9 · 5) = 6/45
2/15
4 · 2/11
(4 · 2)/(1 · 11)
8/11
3.1Cancelamento (simplificar antes de multiplicar)
Para deixar a conta mais fácil, você pode simplificar antes de multiplicar. Essa técnica se chama cancelamento.
Escolha um numerador e um denominador que possam ser divididos pelo mesmo número e divida os dois. O importante: os números não precisam estar na mesma fração! Pode cancelar o numerador de uma com o denominador de outra.
Assim você trabalha com números menores e erra menos.
Exemplos
3/10 · 2/7 · 14/9: cancele 3 com 9 (fica 1 e 3), 2 com 10 (fica 1 e 5) e 14 com 7 (fica 2 e 1). Sobra (1 · 1 · 2)/(5 · 1 · 3) = 2/15.
50/10 · 1/21 · 7/10: cancelando, 50 e 10 viram 5 e 1; 5 com 10 vira 1 e 2; 7 com 21 vira 1 e 3. Sobra 1/6.
Rafael precisa ler 2/3 de um livro e leu 3/4 do que precisava: 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2 do livro.
Multiplicar com e sem cancelamento
Modo
Cálculo
Resultado
Sem cancelar
2/9 · 3/5 = 6/45
Simplifica depois: 2/15
Cancelando
3 com 9 → 1 e 3: (2 · 1)/(3 · 5)
2/15 direto
3.2Frações inversas
Quando o produto de duas frações dá exatamente 1, dizemos que essas frações são inversas uma da outra.
Na prática, para achar o inverso de uma fração basta trocar o numerador com o denominador. Esse conceito é a chave para entender a divisão de frações.
Atenção: todo número natural pode virar fração com denominador 1. Por isso o inverso de 4 (que é 4/1) é 1/4.
📐 Para guardar
a/b · b/a = 1
Inverso de a/b é b/a
Exemplos
7/5 é a fração inversa de 5/7, pois 7/5 · 5/7 = 35/35 = 1.
2 = 2/1 é o inverso de 1/2.
1/4 é a fração inversa de 4/1, ou seja, de 4.
Tabela de inversos
Fração
Inverso
Produto
5/7
7/5
1
1/2
2/1 = 2
1
4 = 4/1
1/4
1
3/8
8/3
1
4Divisão de frações
Dividir serve para repartir uma quantidade ou para descobrir quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
A regra de ouro é: para dividir uma fração por outra, multiplique a primeira pelo inverso da segunda. Ou seja, mantenha a primeira, troque o sinal de divisão por multiplicação e vire a segunda de cabeça para baixo.
Repare que dividir por 4 é o mesmo que calcular 1/4 daquele valor. É por isso que a regra do inverso funciona.
📐 Para guardar
a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)
Dividir por n é o mesmo que multiplicar por 1/n
Exemplos
Exemplo I: Jorge recebeu 3/7 dos lápis e deu a quarta parte para um amigo. 3/7 : 4 = 3/7 : 4/1 = 3/7 · 1/4 = 3/28 dos lápis do estojo.
Exemplo II: quantos copos de 1/3 de litro cabem em 4 litros? 4 : 1/3 = 4 · 3 = 12 copos.
4/5 : 2/3 = 4/5 · 3/2 = 12/10 = 6/5.
1/10 : 1/10 = 1/10 · 10/1 = 10/10 = 1.
3/4 : 12 = 3/4 · 1/12 = 3/48 = 1/16.
Quatro pessoas repartem metade de uma melancia: 1/2 : 4 = 1/2 · 1/4 = 1/8 da melancia para cada uma.
Passo a passo da divisão
Passo
Ação
Exemplo com 4/5 : 2/3
1
Mantenha a primeira fração
4/5
2
Troque : por ·
4/5 ·
3
Inverta a segunda fração
4/5 · 3/2
4
Multiplique e simplifique
12/10 = 6/5
Casos especiais com o zero
Operação
É possível?
Por quê
0 : 1/8
Sim, dá 0
Zero dividido por qualquer número diferente de zero é zero
1/8 : 0
Não é possível
Não existe divisão por zero
5Estimativas com frações
Nem sempre precisamos do valor exato. Para saber se a tinta dá para pintar o quarto ou se o dinheiro dá para abastecer o carro, basta um valor aproximado. Isso é fazer uma estimativa.
Para estimar, compare o numerador com o denominador. Se o numerador é quase igual ao denominador, a fração representa praticamente tudo. Se é mais ou menos a metade do denominador, é quase a metade. Se é bem pequeno perto do denominador, é muito pouco.
Exemplos
26/30 → 26 está quase em 30, então é praticamente tudo.
8/14 → 8 é pouco mais que a metade de 14, então é quase a metade.
3/70 → 3 é bem pequeno perto de 70, então é muito pouco.
4/5 de 200 pessoas: 4/5 é quase tudo, então o valor é próximo de 200 (na conta exata, 160 pessoas).
1/20 de 600 km: é muito pouco, cerca de 30 km.
7/15 de 120 dias: 7/15 é quase a metade, então cerca de 60 dias (exato: 56 dias).
Como interpretar uma fração por estimativa
Fração
Comparação
Leitura estimada
26/30
numerador quase igual ao denominador
Praticamente tudo
8/14
numerador ≈ metade do denominador
Quase a metade
3/70
numerador muito menor
Muito pouco
6Expressões numéricas com frações
Uma expressão numérica é uma conta com várias operações juntas. Com frações, a ordem é a mesma que você já usa com números naturais.
Primeiro resolvem-se as multiplicações e divisões; depois as adições e subtrações, da esquerda para a direita.
Quando aparecem sinais de agrupamento, a ordem é: primeiro parênteses ( ), depois colchetes [ ] e por último chaves { }.
Luciano pintou 1/8 do muro no 1º dia e 3/8 no 2º dia: 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2. Ele está certo, pintou metade do muro!
Jerônimo usou 1/4 do pacote de farinha; sobrou 3/4. Usando 4/5 do restante: 4/5 · 3/4 = 3/5. Sobra 3/4 − 3/5 = 15/20 − 12/20 = 3/20 do pacote.
Ordem para resolver expressões
Prioridade
O que resolver primeiro
1ª
Operações dentro dos parênteses ( )
2ª
Operações dentro dos colchetes [ ]
3ª
Operações dentro das chaves { }
4ª
Multiplicações e divisões (esquerda para a direita)
5ª
Adições e subtrações (esquerda para a direita)
7Problemas típicos: como pensar
Muitos problemas do capítulo seguem um mesmo padrão: você sabe a fração de uma quantidade e precisa achar o total, ou sabe o total e precisa achar a parte.
Uma boa estratégia é pensar no inteiro como 1 (ou como uma fração do tipo 5/5, 20/20 etc.). Some as frações usadas e descubra a fração que sobrou.
Depois, se um valor real corresponde a essa fração que sobrou, use a divisão para achar o total.
📐 Para guardar
Fração que sobra = 1 − (soma das frações usadas)
Total = valor conhecido : fração correspondente
Exemplos
Dona Beatriz: dorme 1/3, come 1/6 e se exercita 1/12 do dia. Soma: 4/12 + 2/12 + 1/12 = 7/12. Sobra 1 − 7/12 = 5/12 do dia.
Casimiro gasta 2/5 com alimentação e 1/4 com condução: 8/20 + 5/20 = 13/20. Sobram 7/20 do salário.
Ciclista: percorreu 1/7 e depois 5/8 da estrada. Soma: 8/56 + 35/56 = 43/56. Faltavam 13/56, que valem 91 km. Total = 91 : 13/56 = 91 · 56/13 = 392 km.
Empresas: uma pavimenta 2/5 e a outra os 81 km restantes (3/5). Total = 81 : 3/5 = 81 · 5/3 = 135 km.
Modelo de resolução (problema do ciclista)
Etapa
Cálculo
Resultado
Somar as frações percorridas
1/7 + 5/8 = 8/56 + 35/56
43/56
Descobrir a fração que falta
1 − 43/56
13/56
Relacionar com o valor real
13/56 do total = 91 km
—
Achar o total
91 : 13/56 = 91 · 56/13
392 km
8Resumo geral do capítulo
Guarde bem estas quatro regras: elas resolvem quase tudo o que envolve frações.
Na adição e subtração os denominadores precisam ser iguais. Na multiplicação e na divisão não precisa igualar nada.
Sempre que der, simplifique o resultado no final.
📐 Para guardar
a/c ± b/c = (a ± b)/c
a/b ± c/d → iguale pelo m.m.c. e depois some ou subtraia
Multiplicação: 3/4 de 1/2 de 2/3 = (3 · 1 · 2)/(4 · 2 · 3) = 6/24 = 1/4.
Divisão: 1/4 : 7/3 = 1/4 · 3/7 = 3/28.
As quatro operações lado a lado
Operação
Precisa igualar denominadores?
Regra
Exemplo
Adição
Sim
Soma numeradores, repete denominador
2/7 + 3/7 = 5/7
Subtração
Sim
Subtrai numeradores, repete denominador
3/7 − 2/7 = 1/7
Multiplicação
Não
Numerador · numerador e denominador · denominador
1/5 · 3/4 = 3/20
Divisão
Não
Multiplica pelo inverso da segunda
4/5 : 2/3 = 6/5
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Adição e subtração de frações com denominadores iguais
1Calcule
Quando duas frações têm o mesmo denominador, somamos ou subtraímos apenas os numeradores e repetimos o denominador.
Calcule o valor das expressões a seguir e simplifique o resultado quando for possível.
a) 4/13 + 6/13
b) 7/12 + 11/12
c) 15/8 − 3/8 − 4/8
d) 2 1/5 + 3/5 + 1 2/5
e) 9/14 + 5/14 − 6/14 + 2/14
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 10/13 b) 18/12 = 3/2 = 1 1/2 c) 8/8 = 1 d) 21/5 = 4 1/5 e) 10/14 = 5/7
Resolução passo a passo
Quando o denominador (o número de baixo, que diz em quantas partes o inteiro foi dividido) é igual nas duas frações, a conta fica fácil: somamos ou subtraímos só os numeradores e repetimos o denominador.
a) 4/13 + 6/13 = (4 + 6)/13 = 10/13. Não dá para simplificar, porque 10 e 13 não têm divisor comum.
b) 7/12 + 11/12 = 18/12. Agora simplificamos: dividimos 18 e 12 por 6 e ficamos com 3/2, que é o mesmo que 1 1/2.
d) Primeiro trocamos os números mistos por frações: 2 1/5 = 11/5 e 1 2/5 = 7/5. Então 11/5 + 3/5 + 7/5 = 21/5 = 4 1/5.
e) 9/14 + 5/14 − 6/14 + 2/14 = (9 + 5 − 6 + 2)/14 = 10/14. Dividindo os dois por 2: 5/7.
2Dissertativo
Uma barra de cereal foi dividida em 9 pedaços iguais. Pela manhã, Sofia comeu 2/9 da barra. No lanche da tarde, ela comeu mais 4/9.
a) Que fração da barra Sofia já comeu?
b) Que fração da barra ainda sobrou?
c) Qual é a diferença entre o que ela comeu à tarde e o que comeu de manhã?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 6/9 = 2/3 da barra b) 3/9 = 1/3 da barra c) 2/9 da barra
Resolução passo a passo
A barra foi dividida em 9 pedaços iguais, então a barra inteira vale 9/9.
a) Somamos o que ela comeu de manhã e à tarde: 2/9 + 4/9 = 6/9. Simplificando (dividindo por 3): 2/3 da barra.
b) O que sobrou é o inteiro menos o que ela comeu: 9/9 − 6/9 = 3/9 = 1/3 da barra.
c) A palavra diferença pede uma subtração: 4/9 − 2/9 = 2/9 da barra. Ou seja, à tarde ela comeu 2/9 a mais.
3Múltipla escolha
Marque a alternativa que apresenta o resultado correto da operação 17/6 − 5/6 − 3/6.
(Lembre-se de simplificar a fração final, se der.)
Resposta
Alternativa a) 3/2
Resolução passo a passo
Os denominadores são todos iguais a 6, então subtraímos só os numeradores.
17/6 − 5/6 − 3/6 = (17 − 5 − 3)/6 = 9/6.
Agora vem a parte que a questão pede: simplificar. Dividimos o numerador e o denominador por 3: 9 : 3 = 3 e 6 : 3 = 2. Fica 3/2.
A letra b mostra o resultado certo, mas sem simplificar. Por isso a resposta é a alternativa a) 3/2.
4Verdadeiro ou falso
Leia cada afirmação e escreva V para verdadeiro ou F para falso. Depois, corrija no caderno as que forem falsas.
a)Para somar 3/11 com 5/11, devemos somar os numeradores e também os denominadores, obtendo 8/22.
b)O resultado de 7/10 + 3/10 é igual a 1 inteiro.
c)A subtração 6/7 − 6/7 tem como resultado zero.
d)A soma 5/4 + 3/4 é maior que 1 inteiro.
Resposta
a) F b) V c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Falso. Nunca somamos os denominadores! O certo é 3/11 + 5/11 = 8/11. Correção no caderno: 3/11 + 5/11 = 8/11.
b) Verdadeiro. 7/10 + 3/10 = 10/10, e 10/10 é 1 inteiro.
c) Verdadeiro. 6/7 − 6/7 = 0/7 = 0. Quando tiramos tudo o que tinha, sobra zero.
d) Verdadeiro. 5/4 + 3/4 = 8/4 = 2, e 2 é maior que 1.
5Dissertativo
Bruno e Alice compraram duas tortas iguais, uma de limão e outra de morango. Cada torta foi cortada em 10 fatias iguais.
Bruno comeu 3/10 da torta de limão e 2/10 da de morango. Alice comeu 4/10 da torta de limão e a mesma quantidade de torta de morango que Bruno comeu.
a) Que fração de uma torta cada um comeu?
b) Juntos, eles comeram mais ou menos que uma torta inteira? Justifique com o cálculo.
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Resposta
a) Bruno comeu 5/10 = 1/2 de uma torta e Alice comeu 6/10 = 3/5 de uma torta. b) Juntos comeram 11/10, ou seja, MAIS que uma torta inteira (1/10 a mais).
Resolução passo a passo
Cada torta foi cortada em 10 fatias, então uma torta inteira vale 10/10.
a) Bruno: 3/10 (limão) + 2/10 (morango) = 5/10. Simplificando, 1/2 de uma torta.
Alice comeu 4/10 de limão e a mesma quantidade de morango que Bruno, ou seja, 2/10. Então 4/10 + 2/10 = 6/10 = 3/5 de uma torta.
b) Juntando os dois: 5/10 + 6/10 = 11/10.
Como 11/10 é maior que 10/10, eles comeram mais que uma torta inteira — exatamente 1/10 a mais.
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes
6Calcule
Quando os denominadores são diferentes, primeiro achamos um denominador comum (uma boa escolha é o m.m.c.) e trocamos cada fração por uma fração equivalente.
Calcule e simplifique quando possível.
a) 1/6 + 3/8
b) 5/6 − 2/9
c) 3 + 1/4 + 2/5
d) 7/10 − 1/2 + 3/5
e) 5 − 2 1/3 − 5/6
f) 3/2 − 5/8 + 1/4 − 1/16
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 13/24 b) 11/18 c) 73/20 = 3 13/20 d) 8/10 = 4/5 e) 11/6 = 1 5/6 f) 17/16 = 1 1/16
Resolução passo a passo
Com denominadores diferentes, primeiro achamos o m.m.c. (menor múltiplo comum) dos denominadores. Ele vira o novo denominador de todas as frações.
a) m.m.c.(6, 8) = 24. Então 1/6 = 4/24 e 3/8 = 9/24. Somando: 4/24 + 9/24 = 13/24.
b) m.m.c.(6, 9) = 18. Então 5/6 = 15/18 e 2/9 = 4/18. Subtraindo: 15/18 − 4/18 = 11/18.
c) O número 3 pode ser escrito como 3/1. m.m.c.(1, 4, 5) = 20: 3 = 60/20, 1/4 = 5/20, 2/5 = 8/20. Soma: 60/20 + 5/20 + 8/20 = 73/20 = 3 13/20.
Multiplicar um número natural por uma fração é o mesmo que somar parcelas iguais. Por exemplo, o dobro de 3/8 significa 3/8 + 3/8.
Faça um desenho para representar cada situação e escreva o resultado.
a) O dobro de 3/7.
b) O triplo de 1/4.
c) O quádruplo de 2/5.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 6/7 b) 3/4 c) 8/5 = 1 3/5
Resolução passo a passo
Multiplicar por um número natural é o mesmo que somar parcelas iguais.
a) O dobro de 3/7 = 3/7 + 3/7 = 6/7. Desenho: faça uma barra dividida em 7 partes iguais e pinte 3; faça outra igual e pinte mais 3. Ao todo ficam 6/7 pintados.
b) O triplo de 1/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Desenho: um quadrado dividido em 4 partes, com 3 partes pintadas.
c) O quádruplo de 2/5 = 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 = 8/5. Desenho: duas barras divididas em 5 partes cada. Pintando 8 quintos, enchemos uma barra inteira (5/5) e mais 3/5 da outra. Por isso 8/5 = 1 3/5.
12Calcule
Na multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Antes de multiplicar, use o cancelamento (simplificação) sempre que puder.
Calcule os produtos.
a) 6 · 3/8 =
b) 4/9 de 3/10 =
c) 5/6 · 3/7 · 14/15 =
d) 2/3 de 9/4 de 1/5 =
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 18/8 = 9/4 = 2 1/4 b) 2/15 c) 1/3 d) 3/10
Resolução passo a passo
Para multiplicar frações: numerador vezes numerador e denominador vezes denominador. A palavra de também significa multiplicação.
a) 6 · 3/8 = 6/1 · 3/8 = 18/8. Simplificando por 2: 9/4 = 2 1/4.
b) 4/9 · 3/10. Podemos cancelar antes: o 3 de cima com o 9 de baixo (viram 1 e 3) e o 4 de cima com o 10 de baixo (viram 2 e 5). Fica 2/3 · 1/5... na prática: (4·3)/(9·10) = 12/90 = 2/15.
c) 5/6 · 3/7 · 14/15 = (5·3·14)/(6·7·15) = 210/630 = 1/3. Cancelando antes: 5 com 15, 3 com 6, 14 com 7.
Um pacote de açúcar tem 2/5 de quilograma. Quantos quilogramas de açúcar há em 15 pacotes iguais a esse?
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Resposta
6 kg de açúcar.
Resolução passo a passo
Cada pacote tem 2/5 de quilograma e são 15 pacotes iguais. Então multiplicamos.
15 · 2/5 = 15/1 · 2/5 = 30/5.
Agora dividimos 30 por 5 e chegamos a 6.
Outro jeito de pensar: 5 pacotes de 2/5 formam 2 kg. Como 15 é o triplo de 5, temos o triplo de 2 kg, ou seja, 6 kg.
14Múltipla escolha
Em uma estante, 3/5 dos livros são de aventura. Do total de livros de aventura, 2/9 são em quadrinhos.
Qual é a fração dos livros da estante que são de aventura e em quadrinhos?
Resposta
Alternativa a) 2/15
Resolução passo a passo
A pergunta é: quanto vale 2/9 de 3/5? A palavra de indica multiplicação.
2/9 · 3/5 = (2 · 3)/(9 · 5) = 6/45.
Simplificando por 3: 6 : 3 = 2 e 45 : 3 = 15. Resultado: 2/15.
Para conferir com números: se a estante tivesse 45 livros, 3/5 = 27 seriam de aventura; 2/9 de 27 = 6 quadrinhos; e 6 em 45 é o mesmo que 2/15. Alternativa a.
15Dissertativo
Pedro, Lucas e Tiago colecionam bonecos. Pedro tem 1/2 da quantidade de bonecos que Lucas tem. Tiago tem 2/5 da quantidade de Pedro.
Que fração indica a quantidade de bonecos de Tiago em relação à quantidade de Lucas?
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Resposta
Tiago tem 1/5 da quantidade de bonecos de Lucas.
Resolução passo a passo
Vamos usar Lucas como o inteiro da história.
Pedro tem 1/2 do que Lucas tem.
Tiago tem 2/5 do que Pedro tem. Então Tiago tem 2/5 de 1/2 de Lucas.
Multiplicando: 2/5 · 1/2 = 2/10 = 1/5.
Conferindo com números: se Lucas tivesse 20 bonecos, Pedro teria 10 e Tiago teria 2/5 de 10 = 4. E 4 em 20 é 1/5.
16Dissertativo
Um caracol sai do ponto A e percorre 5/6 da distância entre os pontos A e B. Depois, ele volta 1/5 do que havia percorrido e para no ponto C.
Que fração da distância entre A e B corresponde à distância entre A e C? Faça um esquema para ajudar.
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Resposta
A distância de A até C é 2/3 da distância de A até B.
Resolução passo a passo
Esquema: desenhe o segmento AB dividido em 6 partes iguais. O caracol anda até a marca de 5/6.
Depois ele volta 1/5 do que havia percorrido. Então calculamos 1/5 de 5/6:
1/5 · 5/6 = 5/30 = 1/6. Ele voltou 1/6 da distância AB.
Agora tiramos essa volta do que já tinha andado: 5/6 − 1/6 = 4/6.
Simplificando por 2: 2/3. No desenho, o ponto C fica na quarta marquinha das seis.
Frações inversas
17Calcule
Duas frações são inversas quando o produto delas é igual a 1.
Escreva a fração inversa de cada número a seguir.
a) 3/8
b) 7
c) 1/5
d) 11/4
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Resposta
a) 8/3 b) 1/7 c) 5 d) 4/11
Resolução passo a passo
Para achar a fração inversa, basta trocar o numerador com o denominador (virar a fração de cabeça para baixo). O produto dos dois sempre dá 1.
a) O inverso de 3/8 é 8/3, pois 3/8 · 8/3 = 24/24 = 1.
b) 7 é o mesmo que 7/1. Virando: 1/7 (7 · 1/7 = 1).
c) O inverso de 1/5 é 5/1, ou seja, 5.
d) O inverso de 11/4 é 4/11, pois 11/4 · 4/11 = 44/44 = 1.
18Múltipla escolha
Qual das alternativas apresenta duas frações que são inversas uma da outra?
Resposta
Alternativa a) 2/9 e 9/2
Resolução passo a passo
Testamos cada par multiplicando. Se der 1, são inversas.
a) 2/9 · 9/2 = 18/18 = 1. ✔ São inversas.
b) 5/3 + 1 = 8/3. E 3/5 · 8/3 = 24/15, que não é 1. ✘
c) 4/7 · 4/7 = 16/49, diferente de 1. ✘
d) 6/5 · 5/12 = 30/60 = 1/2, diferente de 1. ✘
Por isso a resposta é a alternativa a.
19Verdadeiro ou falso
Escreva V para verdadeiro ou F para falso e justifique as falsas.
a)O inverso de 1 é o próprio 1.
b)O número 0 tem fração inversa.
c)O inverso de 10 é 1/10.
d)Se multiplicarmos 5/12 pelo seu inverso, o resultado é 60/60, ou seja, 1.
Resposta
a) V b) F c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeiro. 1 = 1/1; virando a fração continua 1/1. E 1 · 1 = 1.
b) Falso. O zero não tem inverso, porque nenhum número multiplicado por 0 dá 1 (qualquer coisa vezes zero dá zero).
c) Verdadeiro. 10 = 10/1, e o inverso é 1/10. De fato, 10 · 1/10 = 1.
d) Verdadeiro. O inverso de 5/12 é 12/5, e 5/12 · 12/5 = 60/60 = 1.
Divisão de frações
20Calcule
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
Calcule as divisões e simplifique quando possível.
a) 3/5 : 4/7
b) 1/6 : 5/2
c) 8/9 : 8/9
d) 2/3 : 10
e) 6 : 3/4
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Resposta
a) 21/20 = 1 1/20 b) 1/15 c) 1 d) 1/15 e) 8
Resolução passo a passo
Regra: dividir é multiplicar pelo inverso da segunda fração (a que está depois do sinal de divisão).
a) 3/5 : 4/7 = 3/5 · 7/4 = 21/20 = 1 1/20.
b) 1/6 : 5/2 = 1/6 · 2/5 = 2/30 = 1/15.
c) 8/9 : 8/9 = 8/9 · 9/8 = 72/72 = 1. Todo número dividido por ele mesmo dá 1.
d) 2/3 : 10 = 2/3 · 1/10 = 2/30 = 1/15.
e) 6 : 3/4 = 6/1 · 4/3 = 24/3 = 8. Faz sentido: em 6 inteiros cabem 8 pedaços de 3/4.
21Dissertativo
Cinco amigos dividiram igualmente entre si 3/4 de uma pizza.
Que fração da pizza inteira cada amigo comeu?
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Resposta
Cada amigo comeu 3/20 da pizza.
Resolução passo a passo
Repartir 3/4 de pizza entre 5 amigos é uma divisão: 3/4 : 5.
Escrevemos o 5 como 5/1 e usamos a regra do inverso: 3/4 · 1/5.
Multiplicando: (3 · 1)/(4 · 5) = 3/20.
Ou seja, se a pizza fosse cortada em 20 fatias iguais, cada amigo ficaria com 3 fatias.
22Calcule
Um comerciante tem 12 kg de feijão e quer separar tudo em pacotes iguais. Determine quantos pacotes ele conseguirá encher se cada um tiver:
a) 1/2 kg.
b) 1/3 kg.
c) 1/6 kg.
d) 3/4 kg.
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Resposta
a) 24 pacotes b) 36 pacotes c) 72 pacotes d) 16 pacotes
Resolução passo a passo
A pergunta quantos pacotes cabem é sempre uma divisão: 12 dividido pelo peso de cada pacote.
a) 12 : 1/2 = 12 · 2/1 = 24 pacotes.
b) 12 : 1/3 = 12 · 3 = 36 pacotes.
c) 12 : 1/6 = 12 · 6 = 72 pacotes.
d) 12 : 3/4 = 12 · 4/3 = 48/3 = 16 pacotes.
Repare: quanto menor o pacote, mais pacotes saem.
23Dissertativo
Observe as duas operações abaixo:
0 : 2/7 2/7 : 0
Qual delas é impossível de calcular? Explique o porquê usando suas palavras.
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Resposta
A operação impossível é 2/7 : 0. Já 0 : 2/7 = 0.
Resolução passo a passo
Vamos pensar no que a divisão significa.
0 : 2/7 quer dizer: quantos pedaços de 2/7 cabem em nada? Nenhum. Por isso o resultado é 0. Pela regra: 0 · 7/2 = 0.
Já 2/7 : 0 quer dizer: quantos pedaços de tamanho zero cabem em 2/7? Não existe resposta, porque juntando pedaços de tamanho zero nunca chegamos a 2/7.
Por isso dizemos que não existe divisão por zero. A operação impossível é 2/7 : 0.
24Múltipla escolha
Vitória bebe 1/5 de litro de suco por dia. Quantos dias ela levará para beber 2 1/2 litros de suco?
Resposta
Alternativa c) 12,5 dias
Resolução passo a passo
Precisamos descobrir quantas porções de 1/5 de litro cabem em 2 1/2 litros. Isso é uma divisão.
Passo 1: transformar o número misto em fração: 2 1/2 = 5/2.
Então ela leva 12,5 dias (12 dias inteiros e mais metade da porção no 13º dia). Alternativa c.
25Dissertativo
Um pintor consegue pintar 2/15 de uma parede por dia. Quantos dias ele levará para pintar 4/5 dessa parede?
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Resposta
6 dias.
Resolução passo a passo
Queremos saber quantas vezes 2/15 (o trabalho de um dia) cabe em 4/5 (o total a pintar).
Montamos a divisão: 4/5 : 2/15.
Usamos o inverso da segunda fração: 4/5 · 15/2.
Multiplicando: (4 · 15)/(5 · 2) = 60/10 = 6.
O pintor levará 6 dias.
26Dissertativo
Laura comprou uma bicicleta. Ela pagou de entrada 1/4 do valor e dividiu o restante em 9 prestações iguais.
Que fração do valor da bicicleta Laura pagará em cada prestação?
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Resposta
Cada prestação é 1/12 do valor da bicicleta.
Resolução passo a passo
Passo 1: descobrir quanto ficou para parcelar. Ela pagou 1/4 de entrada, então restou 4/4 − 1/4 = 3/4 do valor.
Passo 2: dividir esse restante em 9 partes iguais: 3/4 : 9.
Passo 3: usar o inverso: 3/4 · 1/9 = 3/36.
Passo 4: simplificar dividindo por 3: 1/12.
Cada prestação vale 1/12 do preço da bicicleta.
Estimativas com frações
27Dissertativo
Associe cada fração ao termo que melhor descreve seu valor.
a) 2/45
b) 19/20
c) 11/24
I. Quase a metade
II. Praticamente tudo
III. Muito pouco
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Resposta
a → III (muito pouco); b → II (praticamente tudo); c → I (quase a metade)
Resolução passo a passo
Para estimar o valor de uma fração, comparamos o numerador com o denominador.
a) 2/45: o numerador (2) é bem menor que o denominador (45). Está pertinho de zero, então é muito pouco → III.
b) 19/20: falta só 1/20 para completar o inteiro. Está quase em 1, então é praticamente tudo → II.
c) 11/24: metade de 24 é 12, e 11 é quase 12. Então 11/24 é quase a metade → I.
28Dissertativo
Por estimativa (sem fazer a conta exata), calcule aproximadamente o valor de:
a) 1/3 de 900 pessoas.
b) 1/50 de 1 000 km.
c) 9/20 de 80 dias.
d) 7/8 de 240 reais.
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Resposta
a) 300 pessoas b) 20 km c) cerca de 40 dias (valor exato: 36) d) cerca de 210 reais (um pouco menos que 240)
Resolução passo a passo
Estimar é achar um valor aproximado, usando contas simples de cabeça.
a) 1/3 de 900: dividimos 900 por 3 = 300 pessoas (aqui até deu exato).
b) 1/50 de 1 000: dividimos 1 000 por 50 = 20 km.
c) 9/20 é quase a metade (10/20 seria a metade). Metade de 80 é 40, então o resultado fica um pouco menos: cerca de 40 dias. O valor exato é 9 · 80 : 20 = 36.
d) 7/8 é quase o inteiro (falta só 1/8). Então o resultado fica um pouco abaixo de 240 reais. Como 1/8 de 240 = 30, temos 240 − 30 = 210 reais.
29Múltipla escolha
Uma receita pede 5/6 de xícara de leite. Na cozinha, há 4/5 de xícara de leite.
Sem fazer o cálculo exato, qual é a melhor conclusão?
Resposta
Alternativa b) A quantidade é quase suficiente, falta muito pouco leite.
Resolução passo a passo
Vamos comparar 5/6 (o que a receita pede) com 4/5 (o que existe na cozinha).
Em 5/6 falta só 1/6 para completar a xícara. Em 4/5 falta só 1/5. Os dois valores estão pertinho de 1 xícara inteira.
Como 1/5 é um pouquinho maior que 1/6, a quantidade que existe (4/5) é um pouquinho menor que a pedida (5/6).
Então falta muito pouco leite: alternativa b. (Conferindo com m.m.c. 30: 5/6 = 25/30 e 4/5 = 24/30 — falta só 1/30.)
30Dissertativo
Um tanque de água está com 23/24 da sua capacidade. Escreva com suas palavras se o tanque está quase vazio, pela metade ou praticamente cheio e explique como você pensou.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
O tanque está praticamente cheio.
Resolução passo a passo
O tanque cheio corresponde a 24/24 da capacidade.
Ele tem 23/24, ou seja, falta apenas 1/24 para encher completamente.
Um vinte e quatro avos é um pedacinho bem pequeno, muito menor que a metade (que seria 12/24).
Por isso a melhor descrição é praticamente cheio.
Expressões numéricas com frações
31Calcule
Nas expressões numéricas, resolvemos primeiro as multiplicações e divisões e depois as adições e subtrações. Quando há parênteses, colchetes e chaves, começamos pelos parênteses.
Determine o valor das expressões.
a) 5/2 : 5 + 1/4 · 8/3
b) (7/6 − 1/2) + (5/9 − 1/3)
c) 2/5 + (3 1/2 − 1/4) − 1/2
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Resposta
a) 7/6 = 1 1/6 b) 8/9 c) 63/20 = 3 3/20
Resolução passo a passo
Lembre da ordem: primeiro o que está dentro dos parênteses, depois multiplicação e divisão, e só no fim adição e subtração.
Passo 5: o último parêntese: (3 1/2 − 3) = 7/2 − 3 = 1/2.
Passo 6: 13/4 − 1/2 = 13/4 − 2/4 = 11/4 = 2 3/4.
33Dissertativo
No primeiro dia, Antônio lixou 2/9 de um portão. No segundo dia, lixou mais 4/9. Ele afirmou: "Nesses dois dias eu lixei mais da metade do portão".
Verifique, por meio de cálculos, se a afirmação de Antônio está correta.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Sim, Antônio está certo: ele lixou 2/3 do portão, que é mais que 1/2.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar os dois dias. 2/9 + 4/9 = 6/9. Simplificando por 3: 2/3 do portão.
Passo 2: comparar 2/3 com 1/2 (a metade). Usamos o m.m.c.(3, 2) = 6.
2/3 = 4/6 e 1/2 = 3/6.
Como 4/6 é maior que 3/6, concluímos que 2/3 > 1/2.
Portanto, a afirmação de Antônio está correta: ele lixou mais da metade do portão.
34Dissertativo
Marina comprou um pacote de arroz e usou 1/3 dele para fazer o almoço. Depois, usou 2/5 do restante para fazer um risoto.
Qual é a fração de arroz que sobrou no pacote?
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Resposta
Sobrou 2/5 do pacote de arroz.
Resolução passo a passo
Passo 1: ela usou 1/3 no almoço, então restou 3/3 − 1/3 = 2/3 do pacote.
Passo 2: no risoto ela usou 2/5 do restante, e não do pacote todo. Então calculamos 2/5 de 2/3:
2/5 · 2/3 = 4/15 do pacote.
Passo 3: tiramos isso do que ainda havia: 2/3 − 4/15. Com m.m.c. 15: 10/15 − 4/15 = 6/15.
Passo 4: simplificando por 3: 2/5 do pacote sobrou.
35Dissertativo
Uma costureira recebeu uma encomenda de 120 aventais. Ela produziu 1/2 dos aventais na primeira semana, 1/3 na segunda semana e, na terceira semana, terminou a encomenda.
Quantos aventais ela produziu na terceira semana?
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Resposta
20 aventais na terceira semana.
Resolução passo a passo
Passo 1: primeira semana: 1/2 de 120 = 120 : 2 = 60 aventais.
Passo 2: segunda semana: 1/3 de 120 = 120 : 3 = 40 aventais.
Passo 3: nas duas primeiras semanas ela fez 60 + 40 = 100 aventais.
Passo 4: como a encomenda toda era de 120, na terceira semana ela fez 120 − 100 = 20 aventais.
Com frações dá o mesmo: 1 − (1/2 + 1/3) = 1 − 5/6 = 1/6, e 1/6 de 120 = 20.
Explore seus conhecimentos (problemas gerais)
36Calcule
Calcule o valor das expressões a seguir.
a) 1/2 + 7/5 − 1
b) 2/3 de 3/8 de 4/5
c) 5/6 + 1/4 − 2/3
d) 9/4 − 1/2 − 3/8
e) 2/9 : 5/6
f) 3/8 · 4/9 · 6/5
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 9/10 b) 1/5 c) 5/12 d) 11/8 = 1 3/8 e) 4/15 f) 1/5
a) Primeiro trocamos o número misto por fração: 4 1/3 = (4·3 + 1)/3 = 13/3.
Agora dividimos por 2, multiplicando pelo inverso de 2 (que é 1/2): 13/3 · 1/2 = 13/6 = 2 1/6.
b) 7/8 : 2/5. O inverso de 2/5 é 5/2.
Então 7/8 · 5/2 = 35/16 = 2 3/16.
38Dissertativo
Sônia tinha R$ 4 800,00. Guardou 1/8 desse dinheiro na poupança, usou 1/2 para pagar contas da casa e dividiu o restante igualmente entre suas 2 filhas.
Passo 4: a caixa inteira é 30/30, então 4 · 30 = 120 laranjas.
Conferindo: 1/6 de 120 = 20 e 2/5 de 120 = 48; 20 + 48 = 68. ✔
41Dissertativo
Um caminhoneiro faz uma viagem em três dias. No primeiro dia, percorre 1/5 da distância total; no segundo dia, 3/8; e no terceiro dia, os 340 km finais.
Qual é a distância total da viagem?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A distância total é 800 km.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar os dois primeiros dias: 1/5 + 3/8. Com m.m.c.(5, 8) = 40: 8/40 + 15/40 = 23/40.
Passo 2: o terceiro dia é o que falta: 40/40 − 23/40 = 17/40.
Passo 3: esses 17/40 valem 340 km. Então 1/40 vale 340 : 17 = 20 km.
Passo 4: a viagem toda é 40/40: 20 · 40 = 800 km.
Conferindo: 1/5 de 800 = 160 km e 3/8 de 800 = 300 km; 160 + 300 + 340 = 800. ✔
42Múltipla escolha
Um brinquedo gira 12 1/2 voltas por minuto. Funcionando durante 8 minutos, ele dará
Resposta
Alternativa b) 100 voltas.
Resolução passo a passo
Passo 1: transformar o número misto em fração: 12 1/2 = 25/2 voltas por minuto.
Outro jeito: 12 voltas · 8 = 96, e a meia volta · 8 = 4; 96 + 4 = 100. Alternativa b.
43Múltipla escolha
Um jardineiro plantou mudas em um canteiro. No primeiro dia, plantou 1/4 do canteiro e, no segundo dia, 1/3. Sabendo que 210 mudas foram plantadas nesses dois dias, o número total de mudas do canteiro todo é
Resposta
Alternativa c) 360.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar os dois dias: 1/4 + 1/3. Com m.m.c.(4, 3) = 12: 3/12 + 4/12 = 7/12.
Passo 2: esses 7/12 do canteiro correspondem a 210 mudas.
Passo 3: quanto vale 1/12? 210 : 7 = 30 mudas.
Passo 4: o canteiro todo é 12/12: 30 · 12 = 360 mudas. Alternativa c.
44Múltipla escolha
Duas equipes vão pintar um muro, cada uma começando de uma ponta. Se uma delas pintar 3/7 do muro e a outra pintar os 32 metros restantes, o comprimento total do muro será de
Resposta
Alternativa c) 56 m.
Resolução passo a passo
Passo 1: uma equipe pintou 3/7 do muro. A outra pintou o restante: 7/7 − 3/7 = 4/7.
Passo 2: esses 4/7 valem 32 metros.
Passo 3: 1/7 vale 32 : 4 = 8 metros.
Passo 4: o muro todo tem 7/7: 8 · 7 = 56 metros. Alternativa c.
45Múltipla escolha
Uma pessoa gastou 3/7 do seu salário e ficou com R$ 1 200,00. Se tivesse gasto 5/7 do salário, teria sobrado
Resposta
Alternativa b) R$ 600,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: se ela gastou 3/7, sobrou 7/7 − 3/7 = 4/7 do salário, que são R$ 1 200,00.
Passo 2: 1/7 do salário = 1 200 : 4 = R$ 300,00.
Passo 3: o salário inteiro é 7/7 = 300 · 7 = R$ 2 100,00.
Em um concurso de redação, 1/10 dos participantes não entregou o texto, 2/5 entregaram fora do prazo e os outros 250 participantes entregaram tudo certo. O número de participantes do concurso foi
Resposta
Alternativa c) 500.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar quem não entregou certo: 1/10 + 2/5. Com m.m.c. 10: 1/10 + 4/10 = 5/10 = 1/2.
Passo 2: então a outra metade entregou tudo certo, e essa metade é 250 participantes.
Passo 3: total = 250 · 2 = 500 participantes.
Conferindo: 1/10 de 500 = 50 e 2/5 de 500 = 200; 50 + 200 + 250 = 500. ✔ Alternativa c.
47Dissertativo
Responda às perguntas do jogo Pega-pega das frações.
a) É possível que dois colegas, usando frações diferentes e a mesma operação, cheguem ao mesmo resultado? Dê um exemplo com cálculo.
b) É possível que dois colegas, fazendo operações diferentes, cheguem ao mesmo resultado? Dê um exemplo com cálculo.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) Sim. Exemplo: 1/4 + 1/4 = 1/2 e 1/3 + 1/6 = 1/2. b) Sim. Exemplo: 1/2 + 1/2 = 1 e 1/2 : 1/2 = 1.
Resolução passo a passo
a) Frações diferentes podem ter o mesmo resultado, porque existem várias formas de escrever o mesmo valor (frações equivalentes).
Exemplo: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2. E, do outro lado, 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Os dois colegas chegaram a 1/2 usando a mesma operação (adição) com frações diferentes.
b) Também é possível com operações diferentes.
Exemplo: 1/2 + 1/2 = 1 (adição) e 1/2 : 1/2 = 1/2 · 2/1 = 1 (divisão). Outro exemplo: 2/3 · 3/2 = 1 (multiplicação). Todos deram 1.
Mergulhando fundo (desafios)
48Dissertativo
O trajeto entre duas cidades foi feito assim: 2/5 da distância total de ônibus e 60 km a pé. Desse modo, foram percorridos 3/4 da distância total entre as duas cidades.
Qual é a distância entre elas?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A distância é 1 200/7 km, ou seja, aproximadamente 171,4 km (171 3/7 km).
Resolução passo a passo
Passo 1: descobrir que fração da viagem foi feita a pé. O total percorrido foi 3/4 e, de ônibus, 2/5.
A pé: 3/4 − 2/5. Com m.m.c.(4, 5) = 20: 15/20 − 8/20 = 7/20 da distância total.
Passo 2: esses 7/20 valem 60 km. Então 1/20 vale 60 : 7 = 60/7 km.
Passo 3: a distância inteira é 20/20: (60/7) · 20 = 1 200/7 km.
Passo 4: fazendo a divisão, 1 200 : 7 ≈ 171,4 km (ou 171 3/7 km). Como a conta não deu número redondo, deixamos a resposta na forma de fração.
49Dissertativo
O salário de Beatriz foi reajustado em 1/5 e ela passou a ganhar R$ 2 160,00.
Qual era o salário dela antes do aumento?
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Resposta
O salário antes do aumento era R$ 1 800,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: o salário antigo é o inteiro, ou seja, 5/5. O aumento foi de 1/5 desse valor.
Passo 2: então o salário novo vale 5/5 + 1/5 = 6/5 do antigo, e isso é R$ 2 160,00.
Passo 3: descobrir 1/5: 2 160 : 6 = R$ 360,00.
Passo 4: o salário antigo é 5/5: 360 · 5 = R$ 1 800,00.
Uma avó deixou um pote de balas para seus 3 netos com o recado: "Dividam as balas igualmente".
O primeiro neto pegou 1/3 das balas. O segundo neto, achando que era o primeiro a chegar, pegou 1/3 das balas que ainda estavam no pote. O terceiro encontrou 24 balas e, achando que era o último, levou todas.
Quantas balas havia no pote no início?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Havia 54 balas no pote.
Resolução passo a passo
Vamos de trás para frente, que é o jeito mais fácil.
Passo 1: o segundo neto pegou 1/3 do que estava no pote, então deixou 2/3. Essas 2/3 são as 24 balas que o terceiro encontrou.
Passo 2: se 2/3 valem 24, então 1/3 vale 12, e o pote tinha 36 balas quando o segundo neto chegou.
Passo 3: o primeiro neto pegou 1/3 do total e deixou 2/3. Logo, 2/3 do total = 36.
Passo 4: 1/3 do total = 18, então o total é 18 · 3 = 54 balas.
Conferindo: 54 → primeiro leva 18, restam 36 → segundo leva 12, restam 24 → terceiro leva 24. ✔
51Dissertativo
Camila comprou dois tênis por R$ 480,00. Com exatamente esse mesmo valor, ela poderia ter comprado 3 mochilas: uma azul, uma verde e uma preta. A mochila azul custa R$ 180,00 e a verde custa 2/3 desse valor. Um dos tênis custa 3/5 do preço do outro.
a) Qual é o preço do tênis mais caro?
b) Qual é o preço do tênis mais barato?
c) Qual é o preço da mochila verde?
d) Qual é o preço da mochila preta?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) R$ 300,00 b) R$ 180,00 c) R$ 120,00 d) R$ 180,00
Resolução passo a passo
a) e b) Um tênis custa 3/5 do outro. Pense no tênis mais caro como 5/5 (o inteiro). Juntos, eles valem 5/5 + 3/5 = 8/5 do preço do mais caro, e isso dá R$ 480,00.
Então 1/5 do tênis mais caro = 480 : 8 = R$ 60,00. Logo, o tênis mais caro custa 60 · 5 = R$ 300,00.
O tênis mais barato custa 3/5 de 300 = 60 · 3 = R$ 180,00. Conferindo: 300 + 180 = 480. ✔
c) A mochila verde custa 2/3 de R$ 180,00: 180 : 3 = 60, e 60 · 2 = R$ 120,00.
d) As três mochilas juntas custam R$ 480,00. Então a preta custa 480 − 180 (azul) − 120 (verde) = R$ 180,00.
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Somar ou subtrair frações é juntar ou tirar pedaços de um mesmo inteiro.
Existem dois casos: quando os denominadores (o número de baixo) são iguais e quando são diferentes.
1.1Frações com denominadores iguais
Quando o número de baixo é o mesmo, os pedaços já têm o mesmo tamanho.
Então basta somar ou subtrair os numeradores (números de cima) e repetir o denominador.
📐 Para guardar
a/c + b/c = (a + b)/c
a/c − b/c = (a − b)/c
Exemplo
Davi comeu 2/7 da barra de manhã e 3/7 à tarde: 2/7 + 3/7 = 5/7 da barra.
1.2Frações com denominadores diferentes
Aqui os pedaços têm tamanhos diferentes, então não dá para somar direto.
Passo 1: achar um denominador comum (o jeito prático é usar o m.m.c. dos denominadores). Passo 2: escrever cada fração como uma fração equivalente com esse denominador. Passo 3: fazer a operação como no caso anterior.
Multiplicar frações é como calcular uma parte de outra parte. A palavra "de" vira sinal de multiplicação.
Regra: multiplique numerador com numerador e denominador com denominador. Um número natural pode virar fração com denominador 1 (por exemplo, 3 = 3/1).
📐 Para guardar
a/b · c/d = (a · c)/(b · d)
n · a/b = (n · a)/b
Exemplo
1/5 de 3/4 = 1/5 · 3/4 = (1·3)/(5·4) = 3/20
2.1Cancelamento
Antes de multiplicar, você pode simplificar: dividir um numerador e um denominador por um mesmo número. Isso se chama cancelamento e deixa a conta mais fácil.
Os números simplificados não precisam estar na mesma fração.
Exemplo
2/9 · 3/5 → o 3 e o 9 dividem por 3 → 2/3 · 1/5 = 2/15
2.2Frações inversas
Duas frações são inversas quando o produto delas é igual a 1. Para achar a inversa, é só trocar o numerador com o denominador.
📐 Para guardar
a/b · b/a = 1
Exemplo
7/5 é a inversa de 5/7, pois 7/5 · 5/7 = 35/35 = 1. O inverso de 4 é 1/4.
3Divisão de frações
Dividir serve para saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra, ou para repartir em partes iguais.
Regra de ouro: para dividir uma fração por outra, multiplique a primeira pelo inverso da segunda.
📐 Para guardar
a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)
Exemplo
Quantos copos de 1/3 de litro cabem em 4 litros? 4 : 1/3 = 4 · 3 = 12 copos.
3.1Atenção: divisão por zero
Nunca se pode dividir por zero. Assim, 1/8 : 0 é impossível, mas 0 : 1/8 dá 0.
4Estimativas com frações
Nem sempre precisamos do valor exato. Muitas vezes basta um valor aproximado para decidir algo (se a tinta dá para pintar a parede, por exemplo).
Compare o numerador com o denominador: se o numerador for quase igual ao denominador, é quase tudo; se for cerca da metade, é quase a metade; se for bem pequeno, é muito pouco.
Exemplo
26/30 é praticamente tudo; 8/14 é quase a metade; 3/70 é muito pouco.
5Expressões numéricas com frações
As regras são as mesmas dos números naturais.
Primeiro resolvemos multiplicações e divisões, depois adições e subtrações, sempre da esquerda para a direita.
Quando há sinais de agrupamento, a ordem é: parênteses ( ), depois colchetes [ ] e por último chaves { }.
Exemplo
9/4 : 2 = 9/4 · 1/2 = 9/8 (primeiro a divisão, depois as somas e subtrações da expressão)
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Exercícios
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Adição e subtração de frações com denominadores iguais
1Calcule
Quando duas frações têm o mesmo denominador, somamos ou subtraímos apenas os numeradores e repetimos o denominador.
Calcule o valor das expressões a seguir e simplifique o resultado quando for possível.
a) 4/13 + 6/13
b) 7/12 + 11/12
c) 15/8 − 3/8 − 4/8
d) 2 1/5 + 3/5 + 1 2/5
e) 9/14 + 5/14 − 6/14 + 2/14
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 10/13 b) 18/12 = 3/2 = 1 1/2 c) 8/8 = 1 d) 21/5 = 4 1/5 e) 10/14 = 5/7
Resolução passo a passo
Quando o denominador (o número de baixo, que diz em quantas partes o inteiro foi dividido) é igual nas duas frações, a conta fica fácil: somamos ou subtraímos só os numeradores e repetimos o denominador.
a) 4/13 + 6/13 = (4 + 6)/13 = 10/13. Não dá para simplificar, porque 10 e 13 não têm divisor comum.
b) 7/12 + 11/12 = 18/12. Agora simplificamos: dividimos 18 e 12 por 6 e ficamos com 3/2, que é o mesmo que 1 1/2.
d) Primeiro trocamos os números mistos por frações: 2 1/5 = 11/5 e 1 2/5 = 7/5. Então 11/5 + 3/5 + 7/5 = 21/5 = 4 1/5.
e) 9/14 + 5/14 − 6/14 + 2/14 = (9 + 5 − 6 + 2)/14 = 10/14. Dividindo os dois por 2: 5/7.
2Dissertativo
Uma barra de cereal foi dividida em 9 pedaços iguais. Pela manhã, Sofia comeu 2/9 da barra. No lanche da tarde, ela comeu mais 4/9.
a) Que fração da barra Sofia já comeu?
b) Que fração da barra ainda sobrou?
c) Qual é a diferença entre o que ela comeu à tarde e o que comeu de manhã?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 6/9 = 2/3 da barra b) 3/9 = 1/3 da barra c) 2/9 da barra
Resolução passo a passo
A barra foi dividida em 9 pedaços iguais, então a barra inteira vale 9/9.
a) Somamos o que ela comeu de manhã e à tarde: 2/9 + 4/9 = 6/9. Simplificando (dividindo por 3): 2/3 da barra.
b) O que sobrou é o inteiro menos o que ela comeu: 9/9 − 6/9 = 3/9 = 1/3 da barra.
c) A palavra diferença pede uma subtração: 4/9 − 2/9 = 2/9 da barra. Ou seja, à tarde ela comeu 2/9 a mais.
3Múltipla escolha
Marque a alternativa que apresenta o resultado correto da operação 17/6 − 5/6 − 3/6.
(Lembre-se de simplificar a fração final, se der.)
Resposta
Alternativa a) 3/2
Resolução passo a passo
Os denominadores são todos iguais a 6, então subtraímos só os numeradores.
17/6 − 5/6 − 3/6 = (17 − 5 − 3)/6 = 9/6.
Agora vem a parte que a questão pede: simplificar. Dividimos o numerador e o denominador por 3: 9 : 3 = 3 e 6 : 3 = 2. Fica 3/2.
A letra b mostra o resultado certo, mas sem simplificar. Por isso a resposta é a alternativa a) 3/2.
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes
4Calcule
Quando os denominadores são diferentes, primeiro achamos um denominador comum (uma boa escolha é o m.m.c.) e trocamos cada fração por uma fração equivalente.
Calcule e simplifique quando possível.
a) 1/6 + 3/8
b) 5/6 − 2/9
c) 3 + 1/4 + 2/5
d) 7/10 − 1/2 + 3/5
e) 5 − 2 1/3 − 5/6
f) 3/2 − 5/8 + 1/4 − 1/16
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 13/24 b) 11/18 c) 73/20 = 3 13/20 d) 8/10 = 4/5 e) 11/6 = 1 5/6 f) 17/16 = 1 1/16
Resolução passo a passo
Com denominadores diferentes, primeiro achamos o m.m.c. (menor múltiplo comum) dos denominadores. Ele vira o novo denominador de todas as frações.
a) m.m.c.(6, 8) = 24. Então 1/6 = 4/24 e 3/8 = 9/24. Somando: 4/24 + 9/24 = 13/24.
b) m.m.c.(6, 9) = 18. Então 5/6 = 15/18 e 2/9 = 4/18. Subtraindo: 15/18 − 4/18 = 11/18.
c) O número 3 pode ser escrito como 3/1. m.m.c.(1, 4, 5) = 20: 3 = 60/20, 1/4 = 5/20, 2/5 = 8/20. Soma: 60/20 + 5/20 + 8/20 = 73/20 = 3 13/20.
Multiplicar um número natural por uma fração é o mesmo que somar parcelas iguais. Por exemplo, o dobro de 3/8 significa 3/8 + 3/8.
Faça um desenho para representar cada situação e escreva o resultado.
a) O dobro de 3/7.
b) O triplo de 1/4.
c) O quádruplo de 2/5.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 6/7 b) 3/4 c) 8/5 = 1 3/5
Resolução passo a passo
Multiplicar por um número natural é o mesmo que somar parcelas iguais.
a) O dobro de 3/7 = 3/7 + 3/7 = 6/7. Desenho: faça uma barra dividida em 7 partes iguais e pinte 3; faça outra igual e pinte mais 3. Ao todo ficam 6/7 pintados.
b) O triplo de 1/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Desenho: um quadrado dividido em 4 partes, com 3 partes pintadas.
c) O quádruplo de 2/5 = 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 = 8/5. Desenho: duas barras divididas em 5 partes cada. Pintando 8 quintos, enchemos uma barra inteira (5/5) e mais 3/5 da outra. Por isso 8/5 = 1 3/5.
9Calcule
Na multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Antes de multiplicar, use o cancelamento (simplificação) sempre que puder.
Calcule os produtos.
a) 6 · 3/8 =
b) 4/9 de 3/10 =
c) 5/6 · 3/7 · 14/15 =
d) 2/3 de 9/4 de 1/5 =
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 18/8 = 9/4 = 2 1/4 b) 2/15 c) 1/3 d) 3/10
Resolução passo a passo
Para multiplicar frações: numerador vezes numerador e denominador vezes denominador. A palavra de também significa multiplicação.
a) 6 · 3/8 = 6/1 · 3/8 = 18/8. Simplificando por 2: 9/4 = 2 1/4.
b) 4/9 · 3/10. Podemos cancelar antes: o 3 de cima com o 9 de baixo (viram 1 e 3) e o 4 de cima com o 10 de baixo (viram 2 e 5). Fica 2/3 · 1/5... na prática: (4·3)/(9·10) = 12/90 = 2/15.
c) 5/6 · 3/7 · 14/15 = (5·3·14)/(6·7·15) = 210/630 = 1/3. Cancelando antes: 5 com 15, 3 com 6, 14 com 7.
Um pacote de açúcar tem 2/5 de quilograma. Quantos quilogramas de açúcar há em 15 pacotes iguais a esse?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
6 kg de açúcar.
Resolução passo a passo
Cada pacote tem 2/5 de quilograma e são 15 pacotes iguais. Então multiplicamos.
15 · 2/5 = 15/1 · 2/5 = 30/5.
Agora dividimos 30 por 5 e chegamos a 6.
Outro jeito de pensar: 5 pacotes de 2/5 formam 2 kg. Como 15 é o triplo de 5, temos o triplo de 2 kg, ou seja, 6 kg.
11Múltipla escolha
Em uma estante, 3/5 dos livros são de aventura. Do total de livros de aventura, 2/9 são em quadrinhos.
Qual é a fração dos livros da estante que são de aventura e em quadrinhos?
Resposta
Alternativa a) 2/15
Resolução passo a passo
A pergunta é: quanto vale 2/9 de 3/5? A palavra de indica multiplicação.
2/9 · 3/5 = (2 · 3)/(9 · 5) = 6/45.
Simplificando por 3: 6 : 3 = 2 e 45 : 3 = 15. Resultado: 2/15.
Para conferir com números: se a estante tivesse 45 livros, 3/5 = 27 seriam de aventura; 2/9 de 27 = 6 quadrinhos; e 6 em 45 é o mesmo que 2/15. Alternativa a.
Frações inversas
12Calcule
Duas frações são inversas quando o produto delas é igual a 1.
Escreva a fração inversa de cada número a seguir.
a) 3/8
b) 7
c) 1/5
d) 11/4
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 8/3 b) 1/7 c) 5 d) 4/11
Resolução passo a passo
Para achar a fração inversa, basta trocar o numerador com o denominador (virar a fração de cabeça para baixo). O produto dos dois sempre dá 1.
a) O inverso de 3/8 é 8/3, pois 3/8 · 8/3 = 24/24 = 1.
b) 7 é o mesmo que 7/1. Virando: 1/7 (7 · 1/7 = 1).
c) O inverso de 1/5 é 5/1, ou seja, 5.
d) O inverso de 11/4 é 4/11, pois 11/4 · 4/11 = 44/44 = 1.
13Múltipla escolha
Qual das alternativas apresenta duas frações que são inversas uma da outra?
Resposta
Alternativa a) 2/9 e 9/2
Resolução passo a passo
Testamos cada par multiplicando. Se der 1, são inversas.
a) 2/9 · 9/2 = 18/18 = 1. ✔ São inversas.
b) 5/3 + 1 = 8/3. E 3/5 · 8/3 = 24/15, que não é 1. ✘
c) 4/7 · 4/7 = 16/49, diferente de 1. ✘
d) 6/5 · 5/12 = 30/60 = 1/2, diferente de 1. ✘
Por isso a resposta é a alternativa a.
Divisão de frações
14Calcule
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
Calcule as divisões e simplifique quando possível.
a) 3/5 : 4/7
b) 1/6 : 5/2
c) 8/9 : 8/9
d) 2/3 : 10
e) 6 : 3/4
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Resposta
a) 21/20 = 1 1/20 b) 1/15 c) 1 d) 1/15 e) 8
Resolução passo a passo
Regra: dividir é multiplicar pelo inverso da segunda fração (a que está depois do sinal de divisão).
a) 3/5 : 4/7 = 3/5 · 7/4 = 21/20 = 1 1/20.
b) 1/6 : 5/2 = 1/6 · 2/5 = 2/30 = 1/15.
c) 8/9 : 8/9 = 8/9 · 9/8 = 72/72 = 1. Todo número dividido por ele mesmo dá 1.
d) 2/3 : 10 = 2/3 · 1/10 = 2/30 = 1/15.
e) 6 : 3/4 = 6/1 · 4/3 = 24/3 = 8. Faz sentido: em 6 inteiros cabem 8 pedaços de 3/4.
15Dissertativo
Cinco amigos dividiram igualmente entre si 3/4 de uma pizza.
Que fração da pizza inteira cada amigo comeu?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Cada amigo comeu 3/20 da pizza.
Resolução passo a passo
Repartir 3/4 de pizza entre 5 amigos é uma divisão: 3/4 : 5.
Escrevemos o 5 como 5/1 e usamos a regra do inverso: 3/4 · 1/5.
Multiplicando: (3 · 1)/(4 · 5) = 3/20.
Ou seja, se a pizza fosse cortada em 20 fatias iguais, cada amigo ficaria com 3 fatias.
16Múltipla escolha
Vitória bebe 1/5 de litro de suco por dia. Quantos dias ela levará para beber 2 1/2 litros de suco?
Resposta
Alternativa c) 12,5 dias
Resolução passo a passo
Precisamos descobrir quantas porções de 1/5 de litro cabem em 2 1/2 litros. Isso é uma divisão.
Passo 1: transformar o número misto em fração: 2 1/2 = 5/2.
Então ela leva 12,5 dias (12 dias inteiros e mais metade da porção no 13º dia). Alternativa c.
17Dissertativo
Laura comprou uma bicicleta. Ela pagou de entrada 1/4 do valor e dividiu o restante em 9 prestações iguais.
Que fração do valor da bicicleta Laura pagará em cada prestação?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Cada prestação é 1/12 do valor da bicicleta.
Resolução passo a passo
Passo 1: descobrir quanto ficou para parcelar. Ela pagou 1/4 de entrada, então restou 4/4 − 1/4 = 3/4 do valor.
Passo 2: dividir esse restante em 9 partes iguais: 3/4 : 9.
Passo 3: usar o inverso: 3/4 · 1/9 = 3/36.
Passo 4: simplificar dividindo por 3: 1/12.
Cada prestação vale 1/12 do preço da bicicleta.
Estimativas com frações
18Dissertativo
Associe cada fração ao termo que melhor descreve seu valor.
a) 2/45
b) 19/20
c) 11/24
I. Quase a metade
II. Praticamente tudo
III. Muito pouco
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a → III (muito pouco); b → II (praticamente tudo); c → I (quase a metade)
Resolução passo a passo
Para estimar o valor de uma fração, comparamos o numerador com o denominador.
a) 2/45: o numerador (2) é bem menor que o denominador (45). Está pertinho de zero, então é muito pouco → III.
b) 19/20: falta só 1/20 para completar o inteiro. Está quase em 1, então é praticamente tudo → II.
c) 11/24: metade de 24 é 12, e 11 é quase 12. Então 11/24 é quase a metade → I.
19Múltipla escolha
Uma receita pede 5/6 de xícara de leite. Na cozinha, há 4/5 de xícara de leite.
Sem fazer o cálculo exato, qual é a melhor conclusão?
Resposta
Alternativa b) A quantidade é quase suficiente, falta muito pouco leite.
Resolução passo a passo
Vamos comparar 5/6 (o que a receita pede) com 4/5 (o que existe na cozinha).
Em 5/6 falta só 1/6 para completar a xícara. Em 4/5 falta só 1/5. Os dois valores estão pertinho de 1 xícara inteira.
Como 1/5 é um pouquinho maior que 1/6, a quantidade que existe (4/5) é um pouquinho menor que a pedida (5/6).
Então falta muito pouco leite: alternativa b. (Conferindo com m.m.c. 30: 5/6 = 25/30 e 4/5 = 24/30 — falta só 1/30.)
Expressões numéricas com frações
20Calcule
Nas expressões numéricas, resolvemos primeiro as multiplicações e divisões e depois as adições e subtrações. Quando há parênteses, colchetes e chaves, começamos pelos parênteses.
Determine o valor das expressões.
a) 5/2 : 5 + 1/4 · 8/3
b) (7/6 − 1/2) + (5/9 − 1/3)
c) 2/5 + (3 1/2 − 1/4) − 1/2
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 7/6 = 1 1/6 b) 8/9 c) 63/20 = 3 3/20
Resolução passo a passo
Lembre da ordem: primeiro o que está dentro dos parênteses, depois multiplicação e divisão, e só no fim adição e subtração.
Sônia tinha R$ 4 800,00. Guardou 1/8 desse dinheiro na poupança, usou 1/2 para pagar contas da casa e dividiu o restante igualmente entre suas 2 filhas.
Passo 2: contas da casa: 1/2 de 4 800 = R$ 2 400,00.
Passo 3: total usado: 600 + 2 400 = R$ 3 000,00.
Passo 4: restante: 4 800 − 3 000 = R$ 1 800,00.
Passo 5: dividindo entre as 2 filhas: 1 800 : 2 = R$ 900,00 para cada uma.
24Múltipla escolha
Um jardineiro plantou mudas em um canteiro. No primeiro dia, plantou 1/4 do canteiro e, no segundo dia, 1/3. Sabendo que 210 mudas foram plantadas nesses dois dias, o número total de mudas do canteiro todo é
Resposta
Alternativa c) 360.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar os dois dias: 1/4 + 1/3. Com m.m.c.(4, 3) = 12: 3/12 + 4/12 = 7/12.
Passo 2: esses 7/12 do canteiro correspondem a 210 mudas.
Passo 3: quanto vale 1/12? 210 : 7 = 30 mudas.
Passo 4: o canteiro todo é 12/12: 30 · 12 = 360 mudas. Alternativa c.
Mergulhando fundo (desafios)
25Dissertativo
O salário de Beatriz foi reajustado em 1/5 e ela passou a ganhar R$ 2 160,00.
Qual era o salário dela antes do aumento?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
O salário antes do aumento era R$ 1 800,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: o salário antigo é o inteiro, ou seja, 5/5. O aumento foi de 1/5 desse valor.
Passo 2: então o salário novo vale 5/5 + 1/5 = 6/5 do antigo, e isso é R$ 2 160,00.
Passo 3: descobrir 1/5: 2 160 : 6 = R$ 360,00.
Passo 4: o salário antigo é 5/5: 360 · 5 = R$ 1 800,00.